写给小学生的：漫谈数的发展
2018年7月18日星期三
我打算尽量用自己的语言和行文风格讲述这些内容，因为这些内容并不鲜见。但不可回避的是，也会引用一些“教科书”式的语句，对于这些，您就当做不是“人话”，自行忽略。
数学是研究数量关系和空间形式的科学。（这句就是，呵呵）
九年义务教育，我们会接触到18本数学课本，这些课本会带领我们学习到以下四个方面的数学内容：
（1）数与代数；
（2）图形与几何；
（3）统计与概率；
（4）综合与实践。
说人话，（1）其实就是以前的《算术》与《代数》；（2）即《几何》；（3）《统计》这个家伙无疑是新课程增加的大块内容，它是与数据打交道的，与《组合学》、《概率学》关系密切，也许小学生只需要记住“数据会说话”这句话就够了；（4）指的是应用，你看高考都考 “文综”、“理综”的，长远来看，这块是能力与思维培养的广阔场地，小学数学教材中的“数学广角”、“数学活动”都是属于这块的。
人教版五年级数学下册第8页
如果按照数系扩张的时间顺序“漫谈”，我力不能及，这恐怕需要极强的数学史知识。我打算从数系从小到大扩张的过程谈谈。
自然数遇到加法是开心的，因为两个自然数的和仍然是自然数。但遇到减法时，自然数开始有点“小沮丧”，因为此时一不小心就会出现1－2的情况。这是一只什么“鬼”？一度以来，人们都说这是题目出错了，但总有个别“较真”的人是个例外，他们认为这种情况在数学逻辑上是说不通的，必须解决！您已知道，当规定1－2＝－1时，负数产生了。至此，0也有了新的意义：两个相反数的和，比如：2＋（－2）＝0。据说，负数被人们广泛承认直到17世纪，也就是说，负数的理论意义远早于实际意义。现在，六年级数学会广泛以“零下温度”、“海平面以下负海拔”、“欠款、负债”等描述负数的意义。好的，减法让自然数实现了华丽变身，扩展了一倍，变成了整数。整数的序列是：……－3、－2、－1、0、1、2、3……顺道提一下，自然数用N表示，整数用Z表示。
也许聪明的你已经想到了，自然数或者整数，遇到乘法也是开心的。因为乘法一开始表示的是“求相同加数的和”，如：3＋3＋3＋3＋3＝3×5，看到乘法，就像看到了亲兄弟——两个整数（或自然数）的积也是整数（或自然数）。但是，当自然数或整数遇到除法时，又开始有点“郁闷”！6÷2＝3，这个多好！可是5÷2＝？，2÷3＝？这又会是什么鬼？整数又被突破了，整数不够用了！于是，产生了分数。分数的一般形式是：
公式显示不了，均以图片输出，下同
这叫做“除法的结果可以用分数表示，即除数分之被除数”，也叫做“妈妈再也不用担心我的除法了”。
公元前500年左右，古希腊的毕达哥拉斯学派正是基于分数提出了“数即万物”的哲学思想。他们认为世间万物不是用整数表示，就是用整数之比表示。或许，他们觉得分数之于宇宙万物，达成了某种“和谐”：分数对于加减乘除四则运算封闭。
这位“毕大师”何许人也？就是发现了“毕达哥拉斯定理”的大神，在中国这个定理被称做“勾股定理”。大意是说：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。设勾a股b弦c，则有：
以后小朋友对“勾3股4弦5”的说法会耳熟能详。
毕大师还有一个特殊身份，就是“古今中外学霸第一人”。不过，我可能要打碎您的美好想像了。“老毕”有一个得意门生，叫希帕索斯。有一天，“小希”同学忽然“满血开挂”，发现了一个问题：一个两条边长都为1的等腰直角三角形，它的斜边长是多少呢？按照老师的理论：
数学，拥有一套极强大的符号系统，这使得数学在表达上，在刻画世间万物上，简洁、蓬勃、有力！
希帕索斯引出了一只“大鬼”——无理数。这个根号2不可能表示成q/p的分数形式，而且这样的无理数居然有很多：根号3、根号5、根号7……这严重地动摇了“毕氏学派”的根基。较多的说法是，我们的“毕学霸”采取了“灭口”的办法，把希帕索斯装入袋子，绑上石头，沉入爱琴海了。读到这里，您也许会有两个收获：一是“学霸”本意，原来是指学术界的无赖、恶霸，以后慎用了；二是以后千万不要和老师唱反调！哈哈……当然，您完全无需担心和怀疑：毕氏学派是一个宗教、政治、学术合一的派别，有着极强的信仰，极严厉的规矩，这是“毕老师”生杀予夺的根源背景。至于现在的老师，“体罚和变相体罚学生”就是犯法！各位“淘皮”的同学，做梦可不要笑醒哦！
这个根号2引发了第一次数学危机。根号2＝1.414213562373095……，对于小学生，可以这样理解：1.414213562373095……×1.414213562373095……＝2。它其实是一个无限不循环小数，为什么叫做“无理数”，我只能做些猜测：它不能写成漂亮的分数形式……它的父亲的老师很无理……
“科学是没有止境的。谁为科学划定界限，谁就会站到科学的对面，成为科学的敌人，最终也会被科学葬送。”
这不是我说的，我也不知道是谁说的，只知道这段话很牛！令人感到讽刺的是：毕达哥拉斯定理既是毕大师的杰作，又是毕大师的掘墓人。
我的另一个猜测是：引入小数记数是一大进步。我们知道分数可以化成有限小数或无限循环小数，比如：
小学的分数，其实就是初中的有理数，用Q表示；小学的小数，其实就是初中的实数，用R表示。实数既包含有理数，又包含无理数。大家还记得直线表示的数轴吗？实数与数轴一一对应。从Q到R，或者说从分数到小数，这是数系的一次重大扩张，这次“巨变”的导火索是由希帕索斯点燃的！在技术细节上，开方运算突破了有理数集。您是否已经感觉到：运算对于数系扩张的重大推动作用，这是数学发展的内在动力。实数（或小数）具有完备性和连续性的特点，换言之，分数或有理数是不连续的，因此，只有实数可与连续的直线相匹配。需要声明的是，您千万不要感觉我在暗示：分数的产生早于小数，对此，我不敢下断论。从小学数学课本给出的定义：“分母是10、100、1000……的分数可以用小数表示”，似乎印证了我的暗示。但我依然认为小数在技术手段上更易产生，它只需要采用比1小的如0.1、0.01、0.001……这样以10进制递推的更小的计数单位即可生成，而分数的计数单位则是五花八门的。对于分数与小数谁的“辈份”更高一些，此处就不再深究了。
无限不循环小数也即无理数是数家族中的一个幽灵。根号2对于小学生有点遥远，在初中才会学习。但小学六年级数学中我们会遇到“幽灵中的幽灵”——圆周率π（字母发音：pài）。π是圆周长与其直径的比值，它是一个定值，我国南北朝时期的数学家祖冲之将π算到了：3.1415926～3.1415927之间。π像其他的无理数一样兼具变化的特点，因为你无法直接知道某一小数位数字是几。“变与不变”的神秘融合缔造了“幽灵”的特点。现在人们利用计算机和各种优化算法的竞赛，已将π的计算刷新到了2、3万亿位。有人单凭记忆，可以背出π的8万多位小数位数字，而我只能背到22位，秘诀却不是我发明的：
3.14159 26535 897 932 384 626 ……
“山巅一寺一壶酒 尔乐苦杀吾 把酒吃 酒杀尔 杀不死 乐而乐 ……”
不错吧！故事背景是：一位老师布置学生背诵圆周率π，自己却跑到山顶寺庙吃酒去了，学生在郁闷中灵光乍现，想到的……还有人，将圆周率谱成曲子，弹奏了出来。真是有趣得紧！
其实，我要说的是：π不是寻常的无理数。根号2至少拥有一种简洁、直观的表达，不需要用一个字母来代替。圆周率却办不到：圆周率无法用有限的代数式表达，这个代数式可以是加、减、乘、除、幂、开方、对数、圆函数……运算的任意组合。这样的无理数，叫做超越数。受个人水平制约，对超越数的理解，仍停留在表层和臆测阶段，此段不敢保证正确性。π的表达式是无穷的，比如基本的莱布尼茨级数：
这个级数在真正的大神眼中，是“小儿科”级别的，因为收敛得很慢，不能高效率地逼近π的值，更别说参与π的计算竞赛了。但，我只知道这个。更多的表达形式，比如古老的连分数形式，或更高级的表达式，大家可搜一搜百度百科“圆周率”。
或许，数学就是一盏阿拉丁神灯，总有好奇的人，会将其打开，释放其中的幽灵，将我们的“脑仁”无情折磨！如果这些内容对于小学生难以理解的话，那就抱着“没吃过猪肉还没见过猪跑”的心态来对待吧。或许，您看到一个东西长什么样，是了解它的开始。
然而，数学的发展从未止步。开方运算也遭遇了尴尬：
的强制规定，诞生了与实数一一对应的虚数，用I表示。实数与虚数组合成了复数，用字母C表示。此时，复数不再与直线相匹配，而是与二维平面相匹配，被称作“复平面” ……这些，在高中会学到，我只想对小学生说：数家族中，还有一个强大的幽灵，叫做虚数，i叫做虚数单位。至于虚数能干嘛，水平有限，就不瞎扯了。
稍微总结一下，数系的扩张如下：
N→Z→Q→R→C
自然数→整数→有理数（分数）→实数（小数）→复数
也可以用集合图表示：
这可以成为小朋友们终生学习数学的一条线索。（重要程度★★★★★）
也许以后还会出现新的扩张……
于是，小学数学“数与代数”内容的基本框架就成形了：
（1）自然数的意义和性质（包括产生、意义、计数单位、数位、读法、写法、大小比较、近似、改写、性质等）、自然数的运算和运算定律、四则混合运算、简便运算、列式计算、解决问题；
（2）整数的上述内容，关于负数的运算，其实系统的在初中；
（3）分数的上述内容；
（4）小数的上述内容；
（5）整数、分数、小数的大混合运算、简便运算、列式计算、解决问题。
大家可以估计估计：整数运算的学习大约花费4年，小数运算的学习大约花费1.5年，分数运算的学习大约花费1.5年……
本文甚长，放水极多，终于可以痛快地说声：
拜了个拜，再会。
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