小学里,我们认识了哪些数?
整数和分数。
整数:1,2,10,0等等。
分数:1/2,2/7,5/6,11/12,0.1,0.33,0.333...等等。
因而,在小学里,我们把数分成两类:整数和分数。
小学六年,孩子们接触到的数,除了圆周率π这个(很独特的)数以外,就只有这两类数了。
no!还有小数,象0.33,还有循环小数,象小数0.333...
yes,但同时我们也知道,有限小数和无限循环小数是可以化为分数的。比如0.33=33/100,0.333...=1/3。因而,有限小数和无限循环小数实际都是分数,只不过是分数的另外一种形式罢了!
那圆周率π呢?
这个数有点特别,我们知道,圆周率=3.1415926535...小数点后面的数字都是杂乱无章,不循环的,很显然它是不能化成分数的,因而它是一个另类,既不是整数,也不是分数。我们目前不研究它属于哪一个类别,暂时把它归于无限不循环小数,八年级再说。
这样说来,我们在小学里辛辛苦苦学了六年,就只学了两类数:整数和分数。
到了七年级,我们把数的范围进行扩展。为了表示一对相反意义的量,我们引进了正数和负数,以及既非正也非负的数0。从而把数分成三类:正数,负数,0。
比如:如果向南走了5km记作 5km,那么向北走了3.5km,就记作-3.5km,原地不动就记作0km。
这里, 5就是正数,-3.5就是负数,而0是单独一类,非正非负。
所以,在小学生眼里,数分为两类,不是整数就是分数。二分法,简单,粗暴。在七年级学生眼里,数分为三类:正数,0,负数。看问题的方式有点进步,不再是简单粗暴的二分法,但仍有部分孩子受思维定势的影响,认为不是正数就是负数,经常把0漏掉。
为减少发生这种情况,在分类引入0时,还是得作一些铺垫,加深对0的认识。比如:在前面的举例中, 0.001km和-0.0001km,表示什么意思?
因而,比0多一点点,就是正数,比0少一点点就是负数。这说明0就是正数和负数的分界点(临界点),正数的“起点”,负数的“终点”。所以0是单独的一类数,非正非负。
从数的分类的角度,请你描述下列各数:5,2/7,0.5,-2/3,-13,0。
不同的描述,反映了孩子们对前面所学(数的分类)的理解的不同层次。我通常化分为:及格和优秀两个等级。比如,
对5的描述,通常有这样三种描述:5是一个整数;5是一个正数;5既是一个正数又是一个整数,所以5是一个正整数。
这些描述不能以简单对或错来评价,都是对的,但是这些描述反映了孩子们看问题的“视角”的差别。很显然,前面两种描述的“视角”是单一的,最后一种描述是“多角度”的。
站在小学生的角度,只能描述为:5是一个整数;站在七年级学生的角度,只能描述为:5是一个正数;立足当下,回顾以前(第三视角),就可以描述为:5既是一个正数又是一个整数,所以5是一个正整数。
这种看问题“视角”上的差别,终将反映到孩子们以后解决问题能力大小的差别上。此处对数“第三视角”的描述,正是培养孩子们多角度来全面认识事物的能力,而不仅仅是对数作一个分类那么简单。以“第三视角”来看问题,就是我们常说的对问题综合能力,全局观念。
把这种能力和观念,用在数的分类上就可以获得新的认识,原来数的分类还可以进一步细分。
小学里学的两类数:整数和分数统称为有理数。这样看来,小学六年就只学了一类数:有理数。
有理数只是一个新说法,数还是那些数。前面举例中,除圆周率π以外,都是有理数,但是我们结合前面的分类方法,对有理数进行分类:
站在小学生的角度,有理数分为:整数和分数。
站在七年级学生的角度,有理数分为:正有理数,0,负有理数。
综合考虑:进一步细分,就可以得到如下图所示的分类。
对数的认识,数的扩充,数的分类,都是随着孩子们认知水平不断提升的。七年级引进有理数的概念,扩展了到负有理数(小学里学了正有理数和0),认识了有理数。这是初中阶段第一次扩展数的范围,八年级将引入无理数的概念,再一次扩展数的范围。经过这两次扩展,将数扩展到整个实数范围。每一次扩展,都将对数重新进行分类,所以学会从不同角度,按照不同标准,看待熟悉事物及其分类,正是在培养孩子们分析和解决问题的能力,而不仅仅是把数分类这么简单。
小测试:下图中的A,B,C,D,E,五个区域各表示什么的样数?
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