多项式公因式的性质
要想证明这个定理，就需要知道如何求出两个多项式的最大公因式。求两个多项式的最大公因式我们一般使用辗转相除法，类似于求两个数的最大公因数。
例如求108与180的最大公因数，我们可以使用辗转相除法
180=108×1 72
108=72×1 36
72=36×2
所以，36就是108和180的最大公因数。
我们也可以将这个方法用到求多项式的最大公因式上。
f(x)与g(x)是两个多项式，如果f(x)的次数小于g(x)的次数，则用辗转相除法求f(x)和g(x)的最大公因式的方法如图一所示
图一
证明多项式公因式的性质根据图一中的第k个式子，我们可以得到
rₖ(x)=rₖ₋₂(x)-rₖ₋₁(x)qₖ(x)
我们令u₁(x)=1，v₁(x)=-qₖ(x)
于是，rₖ(x)=rₖ₋₂(x)u₁(x) rₖ₋₁(x)v₁(x)
根据图一中的第k-1个式子，我们可以得到
rₖ₋₁(x)=rₖ₋₃(x)-rₖ₋₂(x)qₖ₋₁(x)
从而，rₖ(x)=rₖ₋₂(x)u₁(x) rₖ₋₁(x)v₁(x)
=rₖ₋₂(x)u₁(x) [rₖ₋₃(x)-rₖ₋₂(x)qₖ₋₁(x)]v₁(x)
=rₖ₋₃(x)v₁(x) [u₁(x)-qₖ₋₁(x)v₁(x)]rₖ₋₂(x)
我们令u₂(x)=v₁(x)，
v₂(x)=u₁(x)-qₖ₋₁(x)v₁(x)
于是，rₖ(x)=rₖ₋₃(x)u₂(x) rₖ₋₂(x)v₂(x)
我们可以根据图一中的式子，以此类推下去，最终可以得到
rₖ(x)=f(x)uₖ(x) g(x)vₖ(x)
在数域F中会存在一个不为零的数c，使得 crₖ(x)为最高次项系数是1的多项式
我们令d(x)=crₖ(x),u(x)=uₖ(x),v(x)=vₖ(x)
所以，d(x)=f(x)u(x) g(x)v(x)
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