常用逻辑用语的全称量词和存在量词在日常生活中不知不觉中经常用到，如所有，存在等词语。通过全称量词和存在量词的学习，理解全称量词与存在量词的定义.掌握判断全称量词命题与存在量词命题.正确使用存在量词对全称量词命题进行否定;正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
一、全称量词与全称量词命题
1.全称量词命题:
在给定集合中,断言所有元素都具有同一性质的命题叫作全称量词命题.
2.全称量词:
在命题中,诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词.用符号“∀”表示,读作“对任意的”.
知识点解析：
1.全称量词命题表示的数量可能是无限的,也可能是有限的,由题目而定.
2.一个全称量词命题可以包含多个变量,如“∀x,y∈R,x2 y2≥0”.
3.有时全称量词是省略的,理解时需要把它补充出来.如:“正方形是矩形”应理解为“所有的正方形是矩形”.
二、存在量词与存在量词命题
1.存在量词命题:
在给定集合中,断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.
2.存在量词:
在命题中,诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词.用符号“∃”表示,读作“存在”.
名师点析
1.含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题.
2.一个存在量词命题可以包含多个变量,如“∃a,b∈R,(a b)2=(a-b)2”.
3.有些命题中虽然没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题
如何判断存在量词命题与全称量词命题的真假?
(1)存在量词命题的真假判断
①要判定存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立即可.
②要判定一个存在量词命题是假命题,需对集合M中的任意一个元素x,证明p(x)都不成立.
(2)全称量词命题的真假判断
①要判定全称量词命题“∀x∈M,r(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明r(x)成立;
②要判定全称量词命题“∀x∈M,r(x)”是假命题,只需举出一个反例,即在集合M中找到一个元素x0,使得r(x0)不成立,那么这个全称量词命题就是假命题.
三、全称量词命题与存在量词命题的否定
1.全称量词命题的否定
全称量词命题的否定是存在量词命题.
对于全称量词命题p:∀x∈M,x具有性质p(x),通常把它的否定表示为∃x∈M,x不具有性质p(x).
2.存在量词命题的否定
存在量词命题的否定是全称量词命题.
对于存在量词命题p:∃x∈M,x具有性质p(x),通常把它的否定表示为∀x∈M,x不具有性质p(x).
知识点解析
1.含有一个量词的命题与它的否定真假相反.所以当其中一个命题的真假不易判断时,可通过判断另一个命题的真假来得到.
2.含有一个量词的命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即将全称量词改为存在量词,将存在量词改为全称量词.
3.常见词语的否定
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
1.一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论,即得其否定.
2.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.
求解含有量词的命题中参数范围的策略
(1)对于全称量词命题“∀x∈M,a>y(或a<y)”为真的问题,实质就是不等式恒成立问题,通常转化为求函数y的最大值(或最小值),即a>ymax(或a<ymin).
(2)对于存在量词命题“∃x∈M,a>y(或a<y)”为真的问题,实质就是不等式能成立问题,通常转化为求函数y的最小值(或最大值),即a>ymin(或a<ymax).
