数学培优——轴对称变换与等腰三角形
轴对称变换与等腰三角形具有密切的关系，这是因为等腰三角形本身是轴对称图形，而以对称轴上任何一点与对称两点为顶点的三角形是等腰三角形．因此，在等腰三角形条件下要注意发挥轴对称性的作用；在进行轴对称变换中要注意发现和利用等腰三角形的性质．请看：
例1 如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD是∠B的平分线.
求证：AD＋BD＝BC．
分析与解：由于角平分线是角的对称轴，而BD是∠B的平分线，故作点A关于BD的对称点E，则点E落在BC上.
连接DE，则△ABD与△EBD关于BD对称，
所以AD＝DE，∠DEB＝∠A＝100°，
所以∠DEC＝80°．
由AB＝AC及∠A＝100°，得∠C＝40°，
所以∠EDC＝60°．
在∠CDE内部作∠CDF＝40°，DF交CE于F，
则∠DFE＝80°＝∠DEF，
从而DE＝DF＝CF；
又易知∠BDF＝80°＝∠BFD，
从而BD＝BF，
所以AD＋BD＝CF＋BF＝BC．
例2 如图2，已知等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于D.
求证：AB＋AD＝BC.
分析与解：由于角平分线是角的对称轴，而BD是角平分线，故将△ABD沿BD翻折到△EBD，
则点E在BC上，AB＝BE，AD＝DE，∠BED＝∠A＝90°.
接下来只须证明CE＝AD.
由∠DEC＝90°，∠C＝45°，
得∠EDC＝45°，
所以∠EDC＝∠C，CE＝DE＝AD，
所以AB＋AD＝BE＋CE＝BC.
例3 如图3，△ABC中，∠ABC＝2∠A，CD是高．
求证：BC＋BD＝AD．
分析与解：考虑到CD是高，将△ACD沿CD翻折180°到△ECD，
则E落在AB的延长线上，且AD＝DE，∠A＝∠E，
又∠ABC＝2∠A，
所以∠ABC＝2∠E＝∠BCE＋∠E，
所以∠BCE＝∠E，
所以BC＝BE，
所以BC＋BD＝BE＋BD＝DE＝AD．
例4 如图4，△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD是高，M是BC的中点．求证：DM＝AB/2．
分析与解：考虑到AD是高，将△ACD沿AD翻折180°到△AED，
则E落在AB的延长线上，且CD＝DE，∠C＝∠E，
又∠ABC＝2∠C，
所以∠ABC＝2∠E，
又∠ABC＝∠E＋∠BAE，
所以∠BAE＝∠E，
所以AB＝BE．
因为CM＝BM，
所以CD－CM＝DE－BM，
即DM＝（DB＋BE）－（DM＋DB）
＝（DB＋AB）－（DM＋DB）
＝AB－DM，
所以2DM＝AB，DM＝AB/2．
例5（2012甘肃兰州市中考题）如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一个点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
分析与解：欲求∠AMN＋∠ANM的度数，关键在于确定点M、N的位置．
由于M、N的位置使得△AMN周长最小，
即MA＋MN＋NA最小，
分别作点A关于BC的对称点E，点A关于CD的对称点F，
连接EF分别交BC于M，交CD于N．
则MA＝ME，NA＝NF，
从而△AMN的周长
＝MA＋MN＋NA＝ME＋MN＋NF，
问题转化为：分别在BC、CD上确定点M、N，使得ME＋MN＋NF最小．
由于E、F是定点，当M、N都在直线E、F上时，
ME＋MN＋NF＝EF为最小，
因此，连接EF，分别交BC、CD于M、N，
这就是M、N的位置．
此时，∠MAE＝∠E，∠NAF＝∠F，
所以∠AMN＝2∠E，∠ANM＝2∠F，
所以∠AMN＋∠ANM＝2（∠E＋∠F）
＝2（180°－∠BAD）
＝2（180°－120°）＝120°．
选B．
例6 如图6，等腰△ABC中，AB＝AC，AD是高.分别在AD和AC上求作一点P和Q，使得PQ＋PC最小.
分析与解：由于AD是△ABC的对称轴，点B、C关于AD对称，
故先把点C变换到点B，即连接PB，
则PB＝PC，从而PQ＋PC＝PQ＋PB≥BQ，
因此，问题转化为确定P、Q的位置，使得BQ最小.
由于Q是AC上的动点，根据“垂线段最短”可知，
过点B作AC的垂线交AC于一点，
该点就是所求作的点Q（即作AC上的高），
BQ与AD的交点就是点P的位置.
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