数列规律的探索是中考命题的热点，其探索目标就是寻找答案数an与序号n之间的关系，当这种关系一时难于发现时，只需要将已知的答案数an加、减、乘、除一个适当的数，所寻找的规律便可跃然纸上，自然出现.
一、加上一个数
例1（2021·黑龙江绥化）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n个图形中三角形个数是_______．
【解析】前四个图形的答案数分别是：1，5，11，19，
把它们都加上1，得：
2，6，12，20，
这些数都是连续两个整数的积，容易发现第n个数是n(n 1)，
再把结果减去1即可得：第n个图形中三角形个数是n(n 1)-1.
例2（2021·广西玉林）观察下列树枝分杈的规律图，若第n个图树枝数用Yn表示，则Y9-Y4=（ ）
A．15×24 B．31×24
C．33×24 D．63×24
【解析】观察前几个图形中的树枝数：1，3，7，15，…，
先把它们加上1，得：2，4，8，16，…
容易发现这些数都是2为底的幂，
即：2=21，4=22，8=23，16=24，…
所以第n个数是2n，
因此，Yn=2n-1，
所以Y9-Y4=（29-1）-（24-1）
=29-24=（25-1）×24=31×24，
故选B.
例3（2021·湖北）根据图中数字的规律，若第n个图中的q=143，则p的值为（ ）
A．100 B．121
C．144 D．169
【解析】观察图中p，q，n之间的关系，容易发现：p=n2，接下来观察q与n的关系，即观察3，8，15，…这些数的规律，
先把每个数加上1，得：4，9，16，…，
容易发现这些数都是完全平方数，即：
4=(1 1)2，9=(2 1)2，16=(3 1)2，…，
所以第n个数是(n 1)2，再减去1就是图中q的结果，
即图中q=(n 1)2-1，
经探索容易发现：当n=11时，
q=(n 1)2-1=143，
所以p=n2=112=121，故选B.
二、减去一个数
例4（2021·内蒙古鄂尔多斯）将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有___________个“〇”．
【解析】前4个图形中“〇”的个数分别是：5，7，11，17，
把它们都减去5，得：0，2，6，12，
容易发现这些都是连续两个整数的积，第n个数是：n(n-1)，
再把结果加上5，即可得第n个“龟图”中有“〇”的个数为
n(n-1) 5，.
当n=30时，
n(n-1) 5=30×29 5=875，
即第30个“龟图”中有875个“〇”．
例5 已知一列数：6，7，10，15，22，31，42，…，问：2022在这列数中吗？如果在，请指出是第几个数？如果不存在，请指出在这列数中与2022最接近的数是第几个？它是多少？
【解析】先把每个数减去6，得：
0，1，4，9，16，25，36，…
容易发现这些数都是完全平方数，第n个数是(n-1)2，
所以这列数的第n个数是(n-1)2 6，
当n=45时，(n-1)2 6=1942<2022，
当n=46时，(n-1)2 6=2031>2022，
所以2022不在这列数中，在这列数中与2022最接近的是第46个数，它是2031..
三、乘以一个数
例6（2021·湖北荆门）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第____行第________列．
【
解析】先观察第n行第n列的数，前几个是：
1，3，6，10，15，
把它们乘以2，得：
2，6，12，20，30，
容易发现这些数是两个连续整数的积，
第n个数是：n(n 1)，
再把结果除以2，
即可得数表中第n行第n列的数是(n 1)n/2，
当n=63时，
n(n 1)=2016，所以第63行第63列的数是2016，
所以第64行第1列的数是2017，第2列的数是2018，…第5列的数是2021，
所以2021在第64行第5列.
例7（2021·湖南湘西土家族苗族自治州）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1=1，第二个图形表示的三角形数记为a2=3，…，则第n个图形表示的三角形数an＝___________．（用含n的式子表达）
【解析】观察a1，a2，a3，a4这列数：1，3，6，10，
把它们乘以2，得：2，6，12，20，
容易发现：第n个数是：n(n 1)，
再把结果除以2即可得：an=(n 1)n/2.
例8 观察数列：2，8，20，40，70，112…，按此规律，第10个数是______.
【解析】2=1×2，8=2×4，20=4×5，40=4×5×2，112=5×2×7，112=2×7×8，…
可以发现，这些数如果再都乘以3，每个数都可以化为三个连续整数的积，
因此，把这些数乘以3，得：
1×2×3，2×3×4，3×4×5，4×5×6，5×6×7，…
第n个数是n(n 1)(n 2)，
所以原数列的第n个数是n(n 1)(n 2)/3，
当n=10时，第10个数是440.
四、除以一个数
例9（2021·湖南常德）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格所有线段的和为____________．(用含n的代数式表示)
【解析】观察前三个图形的答案数：4，12，24，
把它们除以2，得：2，6，12，
容易发现：第n个数是n(n 1)，
再把结果乘以2即可得：第n个网格所有线段的和为2n(n 1).
五、先加减一个数，再乘除一个数
例10（2021·湖北）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（ ）
A．2025 B．2023 C．2021 D．2019
【解析】通过观察可以发现第1行各列中的数或第1列各行中的数，这些数一会儿增加的多，一会儿增加的少，毫无规律可循，观察第n行第n列的数：1，5，13，25，…，
先减去1，得：0，4，12，24，…，再除以2，得：
0，2，6，12，…，
至此容易发现：第n个数是n(n-1)，
所以数表中第n行第n列的数是2n(n-1) 1，
经探索，第32行第32列的数为：
2×32×(32-1) 1=1985，
根据数表的排列规律，第偶数行从右往左的数据每退1就增加2，
所以第32行第13列的数据为：
1985 2×(32-13)=2023，故选：B．
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