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北师大小升初数学资料
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目录
专题 01《丰富的图形世界》.................................................................................2
专题 02《有理数》............................................................................................... 14
专题 03《数轴》................................................................................................... 24
专题 04《绝对值》............................................................................................... 32
专题 05《有理数的加法》...................................................................................39
专题 06《有理数的减法》...................................................................................47
专题 07《有理数的加减法混合运算》...............................................................54
专题 08《有理数的乘法》...................................................................................62
专题 09《有理数的除法》...................................................................................70
专题 11《科学计数法》....................................................................................... 86
专题 12《有理数的混合运算》...........................................................................94
专题 13《用字母表示数与代数式》...................................................................99
专题 14《整式》................................................................................................. 113
专题 15《整式的加减》.....................................................................................122
专题 16《探索与表达规律》.............................................................................131
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专题 01《丰富的图形世界》
教学目标
1、会辨认基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球等）
2、了解直棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型；
3、能想象基本几何体的截面形状；
4、会画基本几何体的三视图，会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述几何体或实物原型；
5、能从丰富的现实背景中抽象出空间几何体和基本平面图形，进一步认识点、线、面。
6、获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识。
7、体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识。
新知引入
一、生活中的立体图形
1.常见几何体及其特征
2.常见几何体的分类
柱体：圆柱体、棱柱{三棱柱、四棱柱(长方体、正方体)、五棱柱、六棱柱……}；
锥体：圆锥；
球体：球．
3.棱柱的顶点、棱、面的数量关系
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4.点、线、面
(1)图形是由点、线、面构成的．
(2)面与面相交得到线 ，线与线相交得到点．
(3)面有平面，也有曲面；线有直线，也有曲线．
5.点、线、面、体之间的关系
二、展开与折叠
1.正方体的展开图
口诀：
六个面儿七刀裁，十一类图记分明；中间四个成一行，两边各一无规律；
二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐；
对面相隔不相连，识图巧排"凹"和"田".
2.棱柱的展开图
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两个完全相同的多边形(底面)和几个长方形(侧面)
3.圆柱的展开图
两个圆(底面)和一个长方形(侧面)
4.圆锥的展开图
一个圆(底面)和一个扇形(侧面)
新课教授
三、截一个几何体
1.截面的概念
用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．
截面的形状是_平面图形
2.常见几何体截面
四、从三个方向看物体的形状
1.从三个方向看简单几何体得到的图形
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2.从三个方向看组合体得到的图形
(1)画由小正方体组成的几何体从正面和左面看所得图形的方法：先确定看到的面左右共
有几列,每一列共有几层.
(2)画从上面看所得图形，则看几何体的最上面的小正方形前后共有几行,左右共有几列以
及每个面的位置关系
3.由从三个方向看到的形状描述几何体
典例分析
考点一 生活中的立体图形
【例题 1】 将下列几何体进行分类
【归纳总结】在对几何体进行分类时要做到不重不漏，分类合理．
考点二 展开与折叠
【例题 2】如图所示是一个正方体的侧面展开图，如果将它折叠成一个正方体后相对的
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面上的数相等，则图中 x的值为_____．
【归纳总结】我们知道，每一个正方体都是由三对相对的面围成的．在平面展开图中找
相对的面是探索正方体展开图的关键．
考点三 截一个几何体
【例题 3】用一个平面去截一个几何体，截面的形状为三角形，则这个几何体不可能是
( )
【归纳总结】截一个几何体，关键明确截面的形状既与被截的几何体有关，还与截
面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学
会分析和归纳的思想方法．
考点四 从不同方向看几何体
【例题 4】画出下图所示的几何体从三个方向看到的形状
【归纳总结】画从三个方向看到的物体的形状时，若是由小正方体组成的几何体，要看
准组成面的每一列和每一行的小正方形的个数．
【例题 5】如图所示是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体从三个方向看图形得
到的形状，则组成这个几何体的小正方体的个数是( )
A．7 B．8 C．9 D．10
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【归纳总结】
这类题目的解题思路如下：先根据从正面和从左面看到的图形，在从上看到的图形的每
个小正方形的相应位置上的小正方体的个数，然后求出它们的和，即是组成这个几何体
的小正方体的个数.确定每个位置上的小正方的个数时，要分清是哪一行和哪一列，不要
张冠李戴.
基础达标
1．（2020•重庆）围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是 ( )
A． 长方体 B． 圆柱体
C． 球体 D． 圆锥体
2．（2020春•浦东新区期末）如图，在长方体 ABCD EFGH 中，与面 ABCD垂直的棱有 ( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．8条
3．（2019秋•博白县期末）"节日的焰火"可以说是 ( )
A．面与面交于线 B．点动成线 C．面动成体 D．线动成面
4．（2019秋•白云区期末）将左面的平面图形绕轴旋转一周，得到的立体图形是 ( )
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A． B． C． D．
5．（2019秋•扬州期末）由 5 个棱长为 1 的小正方形组成的几何体如图放置， 一面着
地， 两面靠墙， 如果要将露出来的部分涂色， 则涂色部分的面积为 11 ．
6．（2020•西城区二模）如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是 ( )
A． B． C． D．
7．（2019秋•崇川区校级期末）如图是一个立体图形的平面展开图，则这个立体图形是 三棱柱 ．
8．（2020春•南岗区期末）下列平面图形中，经过折叠不能围成正方体的是 ( )
A． B．
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C． D．
9．（2020•河南二模）某正方体的每个面上都有一个汉字．它的一种平面展开图如图所示，那么在原
正方体中，与"筑"字所在面相对的面上的汉字是 ( )
A．抗 B．疫 C．长 D．城
10．（2019秋•雅安期末）用一个平面去截下列几何体，截面不可能是圆的是 ( )
A．球 B．圆锥 C．圆柱 D．长方体
11．（2019秋•嘉陵区期末）一个密封的圆柱体容器中装了一半的水，如果将该容器水平放置如图，那
么稳定后的水面形状为 ( )
A． B．
C． D．
12．（2019秋•陈仓区期末）用一个平面去截几何体，若截面是三角形，这个几何体可能是 ，
和 ．
13．（2019秋•海安市期末）正方体切去一个块，可得到如图几何体，这个几何体有 条棱．
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14．（2020春•道里区期末）下列立体图形中，从正面看到的平面图形是圆的立体图形是 ( )
A． 正方体 B． 圆柱
C． 圆锥 D． 球
15．（2020•和平区三模）如图是一个由 5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是 ( )
A． B．
C． D．
16．（2020•徐州模拟）一个长方体的三视图及相应的棱长如图所示，则这个长方体的体积为 ( )
A．15 B．30 C．45 D．62
提优巩固
1．（2019秋•余杭区期末）如图，有一个盛有水的正方体玻璃容器，从内部量得它的棱长为 30cm，容
器内的水深为8cm，现把一块长，宽，高分别为15cm，10cm，10cm的长方体实心铁块平放进玻璃容
器中，容器内的水将升高 cm．
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2．（2018秋•中牟县期末）在一个底面直径为5cm，高为16cm圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入
一个底面直径为 6cm，高为10cm的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，求瓶内水面还有多
高？若未能装满，求玻璃杯内水面离杯口的距离？
3．（2019秋•南岗区期末）在一个圆柱形水桶里，垂直放入一段半径是 3cm的圆柱形钢材．如果把钢
材全部侵入水中，桶里的水面上升10cm；如果再把钢材垂直露出水面 6cm，桶里的水面下降 4cm．(
取 3.14)
（1）整段钢材的体积是多少？
（2）若把整段钢材全部用来锻造底面直径为 2cm，高为3cm的圆锥形零件，一共可以锻造多少个这
样的圆锥形零件？（假定锻造过程中无任何损耗）
6．（2019秋•辉县市期末）下面两个立体图形的名称是： ．
4．（2019秋•会宁县期中）将一个长为 6厘米，宽为 4厘米的长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，
求得到的几何体的体积（结果保留 ) ．
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5．（2019秋•邗江区校级期末）图 1所示的三棱柱，高为8cm，底面是一个边长为 5cm的等边三角形．
（1）这个三棱柱有 条棱，有 个面；
（2）图 2框中的图形是该三棱柱的一种表面展开图的一部分，请将它补全（一种即可）；
（3）要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，至少需剪开 条棱，需剪开棱的
棱长的和的最大值为 cm．
6．（2019秋•泰兴市期末）如图所示是一个几何体的表面展开图
（1）该几何体的名称是 ．
（2）根据图中所给信息，求该几何体的体积（结果保留 )
7．（2020•滨海县二模）下列图形经过折叠不能围成棱柱的是 ( )
8．（2020•新华区一模）如图是正方体的表面展开图，则在原正方体中，与"中"字相对的面上的字是 (
)
A．国 B．必 C．胜 D．疫
9．（2020•成都模拟）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一个展开图，则在原正方体中，
与"想"字所在面相对的面上的汉字是 ．
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10．一个长方体长 2米，截面是边长 3厘米的正方形，将这个长方体木料锯成五段后，表面积一共增
加了多少平方厘米？
25．一个正方体木块的体积是 1000立方厘米，现要把它锯成 8块同样大小的正方体木块，小木块的
体积是多少？
11．（2020•朝阳区三模）在如图所示的几何体中，主视图是三角形的是 ．（填序号）
12．（2020•宁波模拟）如图，是一个直棱柱的三视图，这个直棱柱的表面积是 ．
13．（2019秋•皇姑区期末）如图，是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体．根据要求完成
下列题目．
（1）请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图（画出的图需涂上阴影）；
（2）图中共有 个小正方体．
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14．（2018秋•东明县期末）一个几何体的三视图如图所示，
（1）请判断该几何体的形状；
（2）求该几何体的体积．
15．（2020•牡丹江一模）如图，是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则这
个几何体的搭法有 ( )种．
A．3 B．4 C．5 D．6
专题 02《有理数》
教学目标
1.理解正、负数的概念，会判断一个数是正数还是负数.（重点）
2.会用正负数表示具有相反意义的量.（难点）
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3.能按一定的标准对有理数进行分类．（难点）
新知引入：正负数的意义
观察下列图片，体会数的产生和发展过程.
结绳计数：由记数、排序，产生数 1,2,3…产生数 0：由表示"没有""空位"，
由分物、测量，产生分数12，
13 ，…
新课教授
思考：你能用小学学过的数能表示下列数吗？
用正、负数表示具有相反意义的量
红色所表示的得分比 0分低。带"－"的得分比 0分低
这里出现了比 0分低的得分，我们可以用带有"－"号的数来表示，如－10（读作：负 10）
表示比 0低 10的数；对于比 0分高的得分，可以在前面加上"＋"号，如＋10（读作：正
10）表示比 0高 10的数.
概念学习
像 10、1.2、17…这样的数叫做正数，它们都比 0大在正数前面加上"－"号的数叫做负数，
零上 5ºC
零下 5ºC
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例如－10，－3 …
0既不是正数，也不是负数
典例分析
【例题 1】天气预报某天北京的温度为:－3~3°C，它的确切含义是什么？这一天北京的温
差是多少？
【例题 2】下图是吐鲁番盆地的示意图，你能用语言表述它与海平面的高度关系吗？它
的含义是什么？
【例题 3】唐寨镇办 4 家民营企业今年第一季度的产值与去年同期相比的增长情况如下
表，含义是什么？
零上与零下
盈利与亏损 具有相反意义的量
加分与扣分
高出与低于
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牛刀小试
【例题 1】
(1) 某人转动转盘，如果用 5 圈表示沿逆时针方向 转了 5 圈，那么沿顺时针方向转了 12
圈怎样表示？
（2）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量 0.02克记作＋0.02克，那么-0.03
克表示什么？
（3）某大米包装袋上标注着："净重量：10kg±150g"， 这里的"10kg±150g" 表示什么？
【例题 2】加工一根轴，图纸上注明它的直径是Ф30 (单位：mm)，请问：这种零件
直径的标准尺寸是多少？合格产品的最大直径是多少？最小直径又是多少？
新知引入：有理数的概念及分类
思考：我们学过了哪些数？请举出相应的例子.
1，2，3 ……正整数
0 ……零
－1，－2，－3 ……负整数
0.03
− 0.02
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12, 13, 5.2 …… 正分数
− 15, − 5
6, − 3.5 …… 负分数
有理数的分类:
想一想：有理数还可以进行其他分类吗？
典例分析
【例题 1】把下面各数填在相应的括号里：
正数集合{ …}；
负数集合{ …}；
整数集合{ …}；
正分数集合{ …}；
负分数集合{ …}；
分数集合{ …}．
【例题 2】把下列各数分别填在相应集合的圈里：
12，− 3， 1，13，
− 1.5,0,0.2,314，
− 435.
−18，227，3.1416,0,2001，−
35，
369， − 0.142857,95%
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有理数的分类中的四点注意:
1.相对性：正数是相对负数而言的，整数是相对分数而言的.
2.特殊 0： 0既不是正数，也不是负数，但 0是整数.
3.多属性：同一个数，可能属于多个不同的集合.如 5既是正数又是整数.
4.提醒： 分数包括有限小数和无限循环小数.
基础达标
1．（2019秋•商河县期末）现实生话中，如果收人 100元记作 100 元，那么 800 表示 ( )
A．支出 800元 B．收入 800元 C．支出 200元 D．收入 200元
2．（2019秋•松江区期末）已知： x是正整数，且14x是假分数，
16x是真分数，则 x等于 ( )
A．14 B．15 C．14或 15 D．15或 16
3．（2019秋•云梦县期末）如果水位升高 5米记为 5 米，那么水位下降 3米应记为 ( )
A． 3 米 B． 3 米 C．2米 D． 2 米
4．（2019秋•闵行区期末）在分数512
，38，
1815
，17220
能化为有限小数的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2019秋•肇庆期末）如果水库水位上升 2m记作 2m ，那么水库水位下降 6m记作 ．
7．（2019秋•禅城区期末）如果某学生向右走 10步记作 10 ，那么向左走 5步，应记作 ．
8．（2019秋•无棣县期末）如果水位上升 5米记作 5 米，那么水位下降 6米可记作 米．
7．（2019秋•长清区期末）检查商店出售的袋装白糖，白糖每袋按规定重 500g，一袋白糖重 499g，
就记作 1g ，如果一袋白糖重 503g ，应记 ．
8．（2019秋•和平区期中）请把下列各数填入相应的集合中：
5， 2 ，27， 3.6 ，0，
193
， 98%
正数集合：{ }
整数集合：{ }
负分数集合：{ }
整数集合 分数集合
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9．（2018秋•定州市期末）有 20袋胡萝卜，以每袋 25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、
负数来表示，记录如下：
与标准质量
的差值（千
克）
3 2 1.5 0 1 2.5
袋数 1 8 2 3 2 4
（1）20袋胡萝卜中，最重的一袋比最轻的一袋重多少千克？
（2）与标准重量比较，20袋胡萝卜总计超过或不足多少千克？
（3）若胡萝卜每千克售价 2.8元，则出售这 20袋胡萝卜可卖多少元？
10．（2019秋•鞍山期末）某玩具厂计划一周生产某种玩具 700件，平均每天生产 100件，但由于种种
原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负） :
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减 5 2 4 13 6 6 3
（1）根据记录的数据可知该厂星期四生产玩具 件；
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产玩具 件；
（3）根据记录的数据可知该厂本周实际生产玩具 件；
（4）该厂实行每周计件工资制，每生产一件玩具可得 20元，若超额完成任务，则超过部分每件另奖
5元；少生产一件扣 4元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
11．（2019秋•五华区期末）某摩托车厂本周计划每日生产 250辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上
班人数不一一定相等，实际每日的生产量与计划生产量相比情况如表（增加的辆数为正，减少的辆数
为负） :
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减 4 27 23 14 1 18 15
根据记录回答：
（1）本周总产量与计划量相比是增加了还是减少了？增加了或减少了多少辆？
（2）本周共生产了多少辆摩托车？
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12．（2019秋•怀集县期末）有 5筐蔬菜，以每筐 10千克为准，超过的千克数记为正，不足记为负，
称重记录如下： 3 ， 2 ， 3 ， 2 ， 1.5 筐蔬菜的总重量是多少千克？
提优巩固
一．选择题
1．（2019秋•盐都区期末）如果向北走 2m，记作 2m ，那么 5m 表示 ( )
A．向东走 5 m B．向南走 5 m C．向西走 5 m D．向北走 5 m
2．（2019秋•高淳区期末）一袋面粉的质量标识为"100 0.25 千克"，则下列面粉质量中合格的是 ( )
A．100.30千克 B．99.51千克 C．99.80千克 D．100.70千克
3．（2017秋•江都区期末）如图，点 A，B，C，D是某市正方形道路网的部分交汇点，且它们位于
同一对角线上．某人从 A出发，规定向右或向上行走，那么到达点C的走法共有 ( )
A．4种 B．6种 C．8种 D．10种
4．（2018秋•鼓楼区校级期末）如图，在一个8 8 的方格棋盘的 A格里放了一枚棋子，如果规定棋子
每步只能向上、下或向左、右走一格，那么这枚棋子走如下的步数后能到达 B格的是 ( )
A．7 B．14 C．21 D．28
二．填空题
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5．（2019秋•卢龙县期末）如果把 50 元表示收入 50元，那么支出 200元可表示为 元．
6．（2019秋•凤山县期末）如果收入 500元记作 500 元，那么支出 200元应记 元．
7． 2 ， 3 ，0，132
， 1.414 ， 17 ，23．
负数：{ }；
正整数：{ }；
整数：{ }；
负分数：{ }；
分数：{ }．
8．在一条东西向的跑道上．小亮先向东走 6m．记作 6m ．又向西走10m．此时他的位置可记作
m．
三．解答题
9．（2019秋•南充期中）将下列各数填入相应的大括号里．
13
，0.618， 3.14 ，260， 2 ，67， 0.010010001 ，0， 0.3．
正分数集合：{ } ；
整数集合：{ } ；
非正数集合：{ } ；
有理数集合：{ } ；
10．（2019秋•乐至县期末）某自行车厂计划一周生产自行车 1400辆，平均每天生产 200辆，但由于
种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）．
时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
增减产值 5 2 4 10 8 15 6
（1）该厂星期五生产自行车 辆；
（2）求该厂本周实际生产自行车的辆数；
（3）该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得 60 元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖
10元；少生产一辆扣 14元，那该厂工人这一周的工资总额是多少元？
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11．（2019秋•平谷区期末）有 20筐白菜，以每筐 25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负
数来表示，记录如下：
与标准质量的差值（单位：千克） 3 2 1.5 0 1 2.5
筐 数 2 4 2 3 3 6
（1）20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐多重多少千克？
（2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？
（3）若白菜每千克售价 1.6元，则出售这 20筐白菜可卖多少元？（结果保留整数）
12．（2019秋•东莞市期末）检修工乘汽车沿东西方向检修电路，规定向东为正，向西为
负，某天检修工从 A地出发，到收工时行程记录为（单位：千米）
8 ， 9 ， 4 ， 7 ， 2 ， 10 ， 11 ， 3 ， 7 ， 5 ；
（1）收工时，检修工在 A地的哪边？距 A地多远？
（2）若每千米耗油 0.3升，从 A地出发到收工时，共耗油多少升？
13．（2019秋•石城县期末）某粮库 3天内进出库的吨数如下 ( " "表示进库，" "表示出库） :
26 ， 32 ， 15 ， 34 ， 38 ， 20
（1）经过这 3天，仓库管理员结算发现库里还存 480吨粮，那么 3天前库里存放粮有多少吨？
（2）如果进出库的装卸费用是每吨 5元，那么这 3天要付多少装卸费？
14．（2019秋•漳州期末）某公司 6天内货品进出仓库的吨数如下： ( " "表示进库，" "表示出库）
- 专题01《丰富的图形世界》
- 专题02《有理数》
