例1. 已知函数满足
，问：是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？例2. 已知函数满足
，问：是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？
这两个问题的已知条件形似而质异。有的同学往往把它们混为一谈，从而得出错误的结论。为了准确地回答上述问题，必须掌握以下基本定理。
定理1：如果函数满足
，那么的图像关于直线对称。证明：设点
是的图像上任一点，点P关于直线的对称点为Q，易知，点Q的坐标为
。因为点在的图像上，所以
于是
所以点
也在的图像上。
由P点的任意性知，的图像关于直线对称。
定理2：如果函数满足
，那么的图像关于直线
的对称。
证明：（略）（证明同定理1）
定理3：如果函数满足
，那么是以2a为周期的周期函数。证明：令
，则
代入已知条件
得：
根据周期函数的定义知，是以
为周期的周期函数。定理4：如果函数满足
，那么是以
为周期的周期函数。
证明：（略）（证法同定理3）
由以上的定理可知，在已知条件或中，等式两端的两自变量部分相加得常数，如
，说明的图像具有对称性，其对称轴为。等式两端的两自变量部分相减得常数，如
，说明是周期函数，其周期
。
容易证明：定理1、2、3、4的逆命题也是成立的。
牢牢掌握以上规律，则例1、例2迎刃而解。
例1中，
，因此的图像关于直线
对称。由这个已知条件我们不能判定是周期函数。例2中，
，因此是周期函数，其周期
。由这个已知条件我们不能判定它是轴对称图形。例3. 若函数
对于任意实数t均有
，那么A.
B.
C.
D.
解析：在
中
所以抛物线的对称轴为
作示意图如图1，可见，应选A。
图1
例4. 设是定义在R上的奇函数，且，给出下列四个结论：
①
；
②是以4为周期的函数；
③的图像关于直线对称；
④
其中所有正确命题的序号是___________。
解析1：（1）因为
是奇函数，所以
令
，得
所以
又已知
令，得
所以
故①成立。
（2）因为，所以
由
（两自变量相减得常数）
所以是以4为周期的周期函数。
故②成立。
（3）由得：
（两自变量相加得常数）所以的图像关于直线
对称。而不是关于直线对称。
故③是错误的。
（4）由（2）知，应满足
而
所以
故④成立。
综上所述，应填①②④。
解析2：根据题设条件，构造出函数的图像如图2。
图2
由图可见，①②④正确，而③不正确。
例5. 函数
的图像关于直线对称，则
___________。
解析：因为函数的图像关于直线对称
所以有
（定理1的逆定理）
（与题设矛盾，舍去）或
所以。
例6. 设是R上的奇函数，又的图像关于直线对称。问函数是不是周期函数？如果是，求出它的一个周期。
解：因为的图像关于直线对称
由定理1的逆定理知：
用
代换上式中的x，得：
再用
代换x，得：
再用
代换x，得：
又为奇函数，即
由<1><2>得：
即
根据周期函数的定义，是周期函数，且
是它的一个周期。
--END--
