函数是整个高中数学的基础。而我们研究函数，通常都研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、图像等。高一高二阶段，对函数性质的研究，主要还是“单打独斗”型的，基本不会涉及到两种性质内在的联系。而到了高三，要求就要相对高一点，要考虑两种甚至多种性质内在的联系。函数的对称性和周期性，这两个性质有很多内在的联系，也常常成为各类测试的热门考点。今天就带大家一起来看看对称性和周期性“复合”之后的美妙结果。
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函数的对称性和周期性的定义
对称性分为轴对称和中心对称两种，
若函数 f(x) 关于直线 x=a 对称，则 f(a x)=f(a-x)或 f(x)=f(2a-x)；
若函数 f(x) 关于点（a,b）中心对称，则 f(a x) f(a-x)=2b 或 f(x) f(2a-x)=2b;
若函数 f(x) 具有周期T（T>0），则 f(x)=f(x T)。
若函数 f(x)满足f(a x)=f(b x)，则 函数 f(x) 具有周期 T=|a-b|。
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周期性和对称性的内在联系
对于常函数来数，它即是周期函数，也有无数个对称中心和对称轴。那么很自然的我们会有下列问题：
问题1：如果一个函数f(x)既关于直线x=a对称，又关于直线x=b对称，函数f(x)会具有什么样的性质呢？
问题2：如果一个函数f(x)既关于点（a,b）中心对称，又关于点（c,d）中心对称，函数f(x)会具有什么样的性质呢？
问题3：一个函数f(x)关于直线x=a对称，同时又关于点（c,d）中心对称，那么函数f(x)会具有什么样的性质呢？
问题4：一个函数f(x)有周期T，又有周期S，那么函数f(x)会具有什么样的性质呢？
对于上述问题的答案，我们先给出结果：
结论1：f(x)具有周期T，且T=2|a-b|。
结论2：若b=d，则f(x)具有周期T，且T=2|a-c|。若b不同于d，则f(x)没有周期。
结论3：若b=d，则f(x)具有周期T，且T=4|a-c|。
结论4：函数f(x)具有周期R，若S和T均为整数，则R=（S,T），即S和T的最大公约数。
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结论的证明和变式
结论1证明：因f(2b-x)=f(x)=f(2a-x)，故周期为2|a-b|。
结论2证明：因f(x) f(2a-x)=2b，f(x) f(2c-x)=2d，
若b=d，则 f(2a-x)= f(2c-x)，结论成立。
若b不同于d，则f(2a-x)-f(2c-x)=2b-2d，
令2a-x=t，2a-2c=p，2b-2d=q，则 f(t)-f(t-p)=q，
即周期性不存在。
结论3证明：因f(x)=f(2a-x)，f(x) f(2c-x)=2d，
则 f(2a-x) f(2c-x)=2d，令2a-x=t，2a-2c=p，
则 f(t) f(t-p)=2d，故f(t-p) f(t-2p)=2d，即f(t)=f(t-2p)，
故周期为4|a-c|。
结论4证明：由辗转相除法即得。
从上面的证明过程来看，我们会得到另外两个结论（证明略）：
结论5：若周期为2|a-b| 的函数f(x)关于直线x=a对称，那么函数f(x)关于直线x=b对称。
结论6：若周期为2|a-c| 的函数f(x)关于点（a,b）中心对称，那么函数f(x)关于点（c,b）中心对称。
一般的，我们通常会考虑对称中心在x轴上的情况。这样一来，就和函数的奇偶性问题联系上了。例如：奇函数 f(x)关于直线x=a对称，则具有周期4|a|。
此外，具有周期的奇函数还有一个很重要的性质：
若定义在R上的奇函数 f(x) 周期为2T，则f(T)=0。
证明：因 f(T)=f(-T)=-f(T),故f(T)=0。
即奇函数在半周期的位置函数值为0，这与f(0)=0一样，都是奇函数非常重要的性质。
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简单应用
证明：因 f(2-x)=f(2 x)，则f(x)关于直线x=2对称。同理f(x)关于直线x=7对称，则函数以10为周期。故只需要证明在[0,10）上至少有2个根就可以了。因f(0)=0，且关于直线x=2对称，故f(4)=0，命题得证。
若上述函数为奇函数，则问题会变的更加麻烦。首先奇函数关于原点对称，又关于直线x=2对称，故有周期8。再次函数还关于直线x=7对称，故有周期28，再加上周期10，故函数有周期2。因此在[0,10)上有5个零点。由奇函数的性质，在半周期的位置函数值也为0，故还有5个零点，共10个零点，因此在[-30,30]上方程f(x)=0至少有61个根。
当然也可以改为偶函数，读者可以自行解决。
注：本文由爱吃菠萝蜜供稿。
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