中学生课外读物：《数的产生与发展》4（彭彤彬）（整数的加减法），现在小编就来说说关于七年级北师大版整数及其加减?下面内容希望能帮助到你，我们来一起看看吧!
七年级北师大版整数及其加减
中学生课外读物：《数的产生与发展》4（彭彤彬）（整数的加减法）
2.整数的加法
由于整数包括自然数和负整数，而自然数已有加法定义、加法性质及运算律，现在加进了负整数后，又如何相加？
这里面涉及负整数与负整数，负整数与自然数如何相加的问题，相加的含义是什么？
弄清相加含义和方法后，它们仍然满足自然数中加法性质和运算律吗？会不会出现哪些不同的？
先看负整数与负整数之间相加的含义：
我手中无钱，先欠你10元，又向你借了10元，问合起来我手中一共有多少钱？
显然：我手中无钱，并欠你20元。这可用数式记为（-10）＋（-10）＝-20。
由于连续干旱，农田用水增加，加上人蓄饮用水不停，供水水库这两天水位连续下降，昨天降了2米，今天又降了3米，问这两天水库水位一共升了多少米？
显然共降了5米，即上升了-5米。用数式写为：（-2）＋（-3）＝-5。
一般地，可得a，b是两个正整数时，（-a） （-b）=-（a＋b）。
这就是说，两个负整数相加，符号仍为负号，再把它们的相反数相加。
所以两个负整数之和仍是负整数，且这个负整数比两个加数均小。如（-2）＋（-3）＝-5中
-2＞-5，-3＞-5。
这就得到了两个负整数的和的含义及计算方法。
由于先欠你2元，后欠你3元，与先欠你3元，后欠你2元，实际结果都是欠你5元。用式子表示为：
（-2）＋（-3）＝（-3）＋（-2）＝-5。
由于水位先降8米，后降10米，与先降10米，后降8米，都是共降18米。用式子表示为：
（-8）＋（-10）＝（-10）＋（-8）＝-18。
一般地有：可得a，b是两个正整数时，
∵（-a） （-b）=-（a＋b），（-b） （-a）=-（b＋a）＝-（a＋b），
∴（-a） （-b）＝（-b） （-a）。
即两个负整数的和满足交换。
由于我若三次分别借了你5元，8元，13元，不管顺序如何，实际上都欠你26元。
用数式表示为：
（（-5） （-8））＋（-13）
＝（-5）＋（（-8） （-13））
＝-26
一般有：a，b，c是两个正整数时，
∵（（-a） （-b））＋（-c）
＝（-（a＋b））＋（-c）
＝-（a＋b＋c）
（-a） （（-b）＋（-c））
＝（-a）＋（-（b＋c））
＝-（a＋b＋c）
∴（（-a） （-b））＋（-c）
＝（-a） （（-b）＋（-c））
可见，负整数的加法仍然满足结合律。
还有负整数与自然数的加法呢？
先说负整数与0的加法吧。
第一次我没找你借钱，第二次我找你借了5元钱时，0＋（-5）＝-5。
第一次我找你借了5元钱，第二次我没找你钱时，（-5）＋0＝-5。
可见负整数与0的和仍然是这个负整数，且负整数与0的和与顺序无关，即仍然满足交换律。
可让负整数与0的和也满足结合律。请自证。
那负整数与正整数的和含义与计算方法又是怎么样的呢？
我买了3个面包，吃了2个，还有几个面包？
答：手中还有3＋（-2）＝＋（3-2）＝1个面包。
我买了2个面包，但吃3个才能吃饱，我要吃饱，应怎么办？
答：手中还有2＋（-3）＝-（3-2）＝-1个面包，即还需买一个面包才行。
我买了2个面包，现吃了2个，我手中有几个面包？
答：手中还有2＋（-2）＝＋（2-2）＝0个面包，即没有面包。
一般地有：
互为相反数的两数和为0，即a为正整数时，a＋（-a）＝0。
若负整数的相反数比正整数小，则它们的和为一个正数，只需要将正整数减去负整数的相反数。如：
（-350） 400
＝＋（400-350）
＝50。
若负整数的相反数比正整数大，则它们的和为一个负数，和值需先写一个负号，再写上用负整数的相反数减去正整数得到的差数。如：
（-400） 350
＝-（400-350）
＝-50。
用式子表示为：
设a，b是两个正整数，则：
当a＝b时，（-a）＋b＝0，
当a＜b时，（-a）＋b＝＋（b-a），
当a＞b时，（-a）＋b＝-（a-b）。
由上面定义知：
a，b是两个正整数，则：
当a＝b时，b＋（-a）＝0，
当a＜b时，b＋（-a）＝＋（b-a），
当a＞b时，b＋（-a）＝-（a-b）。
比较结论可知：a，b为正整数时，均有
（-a）＋b＝b＋（-a）
所以，正整数与负整数的和满足交换律。
由实际意义可知正、负整数的和满足交换律。如：
我前二次借了你50元和30元，第三次你在我手中拿了100元走，问我手中还有你多少钱？
答：（50 30）＋（-100）
＝-20。即你欠我20元。
如果是第一次我借了你50元，第二次你在我手中拿了100元走，第三次我借了你30元，问我手中还有你多少钱？
答：（（50＋（-100））＋30
＝（-50）＋30＝-20。
比较上两式所得结果发现是一样的，即：
（50 30）＋（-100）
＝（（50＋（-100））＋30。
可见含三个正、负整数的和，先加这两个，还是先加另两个，和不交。这就是加法的结合律。
一般情况，请自行分类讨论去证明。
到此为止，我们就知道了，自然数加了新的负整数，得到整数后，加法的含义是什么，加法是怎么做的，并知道了整数的加法仍然满足加法的交换律和结合律。
为了简便书写整数加法含义，我们引进绝对值概念，规定：一个正数与0的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数。并把数a的绝对值记为la丨。
这样有：a＞0时lal＝a，l0l＝0，a＜0时lal＝-a。
如l304l＝304，l-1l＝1，l-1l＝1，l-3l＝3，l-9l＝9，l-3809l＝3809。
可以看出，整数取绝对值的作用就是去掉负号，把整数转化为自然数。
由此我们知道lal≥0。
这样一来，我们就有：
已知整数a，b，
若a≥0，b≥0，a＋b按自然数加法进行。
若a≤0，b≤0，则a＋b＝-（lal＋lbⅠ）。
若a≥0，b≤0，则：
①当laⅠ＞lbⅠ时a＋b＝＋（laⅠ-lbⅠ），
②当laⅠ＜lbⅠ时a＋b＝-（lbⅠ-laⅠ）
③当laⅠ＝lbⅠ时a＋b＝0。
若a≥0，b≥0，a＋b按自然数加法进行。
这就是整数加法的定义及计算方法。可以看出，要分很多情况来讨论，才能得出和值。
由前讨论知：
若a，b，c∈Z，则有：
①a＋b＝b＋a（交换律）。
②（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）（结合律）。
运算律可以简化我们的计算。如：56 （-32） （-21） （-44）
＝56＋（-（32＋21＋44））
＝56＋（-97）
＝-（97-56）
＝-41。
或56 （-32） （-21） （-44）
＝（56 （-44）） （（-32） （-21））
＝12＋（-53）
＝-（53-12）
＝-41。
3.整数的减法
由前知：a＋b＝0时，a，b互为相反数。
自然数中减法是加法的逆运算。
所以两个整数的减法我们给出如下定义：
a-b＝＝a＋（-b）
即a减去b的差就是a与b的相反数的和。
如：5-4=5 （-4）=1，这与自然数减法是相符的。
3-5=3 （-5）
=-（5-3）=-2，
这就是我有3支笔，你要拿走5支，我手中还差2支。
3-（-55）=3 55=58，
这就是我有3个包子，去掉你从我这拿走的55个包子，也就是我有3个包子，你又还了我55个包子，我手中实有58个包子。
（-65）-（-43）
=（-65）＋43
＝-（65-43）
=-22。
这就是我欠你65元钱，去掉你从我欠你的43元，就是我还了你43元，当然实欠你22元了。
也就是说，整数的减法虽多出了自然数与自然相减时不够减的情况，多出了自然数减负整数的情况，多出了负整数减负整数的情况，但与自然数内部减法一样，不但统一了作减法的样式和步骤，也有相同实际意义。
对于整数计算式中去括号的问题，我们举例说明如下：
∵-22 （（-65）-（-43））
＝-22 （-（65-43））
=-22 （-22）
=-44，
-22 （-65）-（-43）
＝-87 43
=-（87-43）
=-44，
∴-22 （（-65）-（-43））
＝-22 （-65）-（-43）。
即括号前为＋号时，去掉括号后，括号内各数保持不变。
又∵-22-（（-65）-（-43））
＝-22-（-22）
=0，
-22-（-65）＋（-43）
＝-22 65 （-43）
＝43-43
=0，
∴-22-（（-65）-（-43））
＝-22-（-65）＋（-43）。
即括号前为-号时，去掉括号后，括号内各数均应改变符号，＋号变成-号，-号变成＋号。
一般地有：若整数加减式中含有括号，去每层括号时，仍遵循去括号法则：
a，b，c∈Z时，
a＋（b＋c）＝a＋b＋c，
a-（b＋c）＝a-b-c，
a-（b-c）＝a-b＋c，
a-（-b＋c）＝a＋b-c，
a-（-b-c）＝a＋b＋c。
由前面知识我们知道，任两个整数的差仍为整数，所以整数加法具有封闭班性。即：
a∈Z，b∈Z，则a-b∈Z成立。
这是与自然数减法的最大区别，是自然数引进了负整数后，将减法的不封闭变成了封闭。
可见，引进了负整数后，数的性质变得更完善、完备和完美。
整数减法还具有下列性质：
0-0＝0，
0-a＝0＋（-a）＝-a，
0-（-a）＝0＋a＝a，
a-0=a＋0＝a，
a-a＝0，（-a）-（-a）＝0，
lal＝I-aI，
若Ial＝5，则a＝±5。
…
问题：la＋bI＝？
la-bI＝？
4.整数的乘法（后续）
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