2 数学文化视角下的高考数学
教育部考试中心明确提出在高考数学考题中要体现数学文化，这体现了数学学科对学生核心素养的考核，要求学生加强对数学文化知识的学习，自觉地、有针对性地重视对数学文化修养的提升．在高考试题中渗透数学文化，不仅彰显数学的人文特征，丰富数学高考内容，而且可以适当引导中学数学的教学，使得更多的教师关注数学文化，强化立德树人的理念，将数学的本质教授给学生．
2.1以数学文化为载体的数学命题
数学文化所涉及的内容相当宽泛，如何在高考试题中如何体现数学文化？按照教育部考试中心的说法，数学文化主要考查我国古代优秀数学成果和数学史的内容，通过命题引导学生提高人文素养，传承民族精神，树立民族自信心和自豪感．近几年来高考数学命题作出了大胆的尝试，全国卷及各省份的高考试题以及模考试题已经在这方面有所体现，也出现了一些渗透数学文化的精彩题目．分析这些高考试题会发现目前大致出现了以下三种方式．
2.1.1命题渗透数学史
教育部考试中心陈昂、任志朝认为：“数学史作为试题背景，主要包括数学家生平故事，数学史事件，数学名著，数学名题，数学发展的历史等．以数学史为试题情景材料，可以引导中学生理解数学、培养学习数学的兴趣起到积极的推动作用；可以让学生感受数学家的崇高品质以及探究解决数学问题的过程；可以弘扬中国优秀传统文化，并使潜移默化增加学生的爱国主义情感．”[1]
例1 （2017·全国卷Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
点评以我国古代数学名著《算法统宗》为载体，以诗入题，阐明试题的数学史背景，考查等比数列的基本运算，彰显数学的人文情怀，激发考生对中华民族优秀传统文化的喜爱．
例2（2017·浙江卷）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S内，则S内= ．
点评以古代中国数学家刘徽、祖冲之创立“割圆术”估算圆周率π领先世界一千多年的史实，激发学生的爱国主义热情和民族自豪感．
2.1.2 命题渗透数学美
数学文化的美学特征是构成数学文化的重要内容．数学美表现为一种抽象、严谨、含蓄的理性美，从其表现形式上可分为数学内容的和谐美、数学结构的形式美、几何图形的构造美、哲学史上对美的本质的揭示，最初也是源推理论证的严谨美、数学公式的简洁美．高考命题中引入数学的美有助于评价学生对数学的理解．
点评 试题考查比例的性质以及一元一次不等式的基础知识，考查了数学建模、一元一次不等式的求解方法，考查了运算能力和数据处理估算等能力，突出了数学的应用性。同时本题借助著名的“断臂维纳斯”雕像，探讨人体黄金分割之美，将“美育”教育融入到数学教育中，引导学生热爱数学、关注数学之美．
点评 以我国太极图中的阴阳鱼为原型，设计几何概型以及几何概型计算问题，运用对称性质加以计算，让考生充分感悟数学的对称美．
例5 （2019·全国Ⅱ理科16）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有 个面，其棱长为 ．
点评 试题考查了正多面体的基础知识，考查了数学建模的方法、通过面与棱的对称性建立方程组来确定面的个数与棱的长度，试题借助中国有悠久的金石文化，让学生感受古人的审美能力，感悟数学的对称之美，考查学生的空间想象能力以及建模与建模能力，突出考查了学生的理性精神，体现了对数学核心素养的检测．
点评本题连续给出的五个式子，结构上非常相似，也就是说结构具有高度的统一性，需要学生经历尝试、归纳、猜想与验证的过程方能发现这种统一之美．考查了学生的创新心理品质、类比逻辑推理能力，从中体现数学思维的批判性、创造性和解题的艺术性，体现了数学的统一美．
2.1.3 命题渗透数学精神
数学对人类最大的贡献就是培养理性思维．数学所蕴含的逻辑思维、所教授的推理方法、所训练的分析能力，都是在个人的发展过程、认知结构的建构过程中以及生活中必不可少的组成部分．因此，高考数学应充分利用学科的特点，深入考查考生的理性思维能力．[2]数学的理性精神具体体现在对新的问题情境，能灵活应用所学的知识与方法进行研究，合理地选择有效的策略和方法，运用转化与化归的思想解决问题．数学命题通过创设新情景、新问题有助于考查学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题和评价问题的能力，突出体现反思性、探究性和独立思考．
点评本题主要通过创设常见函数的动态情景，考查函数的图象、函数与方程及函数性质的综合应用，检测已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路，如①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题并加以解决；③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
点评 本题是新定义形式的新题型，主要检测学生的阅读理解能力，运用等差数列模型与性质的能力以及逻辑推理能力，让学生体验从特殊到一般的问题探索经历，感悟数学的对称美对解决问题影响与作用．问题的解决完美体现了数学的理性精神．
2.2 彰显数学文化的数学应用题
数学源于实际生活，随着科学研究的发展和进步，使得现代数学的抽象程度越来越高，数学概念与方法空前广泛地渗透到数学之外的其他学科领域和我们的生活．高考数学应用题都是经过精心加工，通过设计适合的试题情境，变理论型为应用型，结合课本，将知识重新分解组合、综合拓广，使之成为立意高，情景新，设问巧，并赋予时代气息切合现代生活实际的问题，要求学生能够利用所学数学知识分析、解决实际生活、生产中的问题．由此彰显数学文化，突出数学的应用价值．
2.2.1 关注社会热点问题
关注社会民生是时代的要求，近几年的高考命题切合时代的脉搏，设计出了格调清新、情境鲜活、富有时代气息的好题，成为高考一道亮丽的风景线．这些与社会热点问题密切相关的数学应用题构思精妙，富有时代气息；既有强烈的德育功能，又可让学生从数学的角度分析社会现象提高应用能力；既重视考查数学思想和方法，又可引导学生关注社会热点增加社会责任感．
点评 试题以嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆这个我国航天事业取得重大成就为载体，考查数学建模的基础知识，考查了运用解方程的一般方法解决实际问题以及运用近视计算的方法估算近似值，考查了等价转化的数学思想方法，考查了运算能力和数据分析能力，突出考查了数学的应用价值，激发学生的爱国主义热情，有效落实了数学核心素养．
例10（2019·全国Ⅱ理科13）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0．97，有20 个车次的正点率为0．98，有10个车次的正点率为0．99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 ．
点评 试题考查运用频率估计概率的基础数学知识，考查了运用统计模型计算正点率的估计值，考查了运算能力，体现了数学的应用性．以我国高铁建设发展为背景，反映我国社会主义建设的成果，其运行的正点率则彰显了我国高铁技术的先进，体现了新高考改革所倡导的落实立德树人的根本任务．
例11 （2019·全国Ⅱ文科5）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高；乙：丙的成绩比我和甲的都高；丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
点评 本题以我国宏观经济政策“一带一路”为载体，引导学生关注社会热点问题，以知识竞答的形式，考查学生的逻辑推理能力，使核心素养与数学试题完美结合，这样的考查将成为新高考的“新常态”．
点评 试题考查概率分布列的数学基础知识，考查了运用概率分布列的方法估计方案的合理性，考查了阅读理解、数学建模、逻辑推理、数学运算能力，突出考查从大量的文字阅读中提取关键信息与数据的能力，突出了数学的应用性、创新性．通过本题的考查，引导学生对科学实验的理解以及通过问题解决来确定合理的问题解决方案，使数学核心素
2.2.2 突出数学建模意识
所谓数学模型，是指对于现实世界的某一特定研究对象，为了某个特定的目的，在做了一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，并通过数学语言表述出来的一个数学结构．数学中的各种基本概念，都是以各自相应的现实原型作为背景而抽象出来的数学概念．各种数学公式、方程式、定理、理论体系等等，都是一些具体的数学模型．加强应用意识和创新精神，突出数学建模意识的考查，是近年来数学高考命题进行探索与改革的重要思路与举措，它有助于培养学生自觉地运用数学知识去考虑和处理日常生活、生产中所遇到的问题，从而形成良好的思维品质，造就一代具有探索新知识、新方法的创造性思维能力的新人，体现文化育人、立德树人的教育理念．
点评 本题以加工零件为载体，重点考查学生的数据分析与处理能力，通过观察与数据整合，自觉选择以“斜率”为模型，解决三位工人加工零件数最大的问题，具有较好的考查价值．
点评本题以文物古迹保护为载体，考查数学阅读理解能力、选择数学模型的能力以及解模运算能力，是一道集体现人文价值和育人意识于一体的经典问题，有较好的社会效应和现实意义．
[1]陈昂.任志朝.突出理性思维弘扬数学文化[J].中国考试,2015（3）10-14.
[2]任志朝.陈昂.高考数学加强创新能力考查研究[J].创新人才教育,2016（9）30-33.
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