如果我们观察地图上的航线，就会发现航线是弯曲的。
基本上可以认为地球是个球体，如果飞机在两个城市之间飞行，最好的飞行线路是取这两个城市之间的最短距离。这其实课看成球面上任意两点之间的最短距离。过球面上的任意两点以及球心可以做一个截平面，与球面的截痕为一个圆，这个圆的大小不随两点不同而变化，半径都是球半径。这个圆是任意平面与球面相截得到的所有不同的圆中，半径最大的，因此叫做大圆。而只要你沿着球表面做线连接任意两个点，曲线长度最短的一定是这个大圆的劣弧长度。航线按两个城市之间的大圆弧航行才最经济。地图是球面向平面做投影做出来的，所以我们看到的航线就是曲线了。
定理：球面上任意两点间的距离以大圆最短初等几何的观察
如图AB是连接A,B两点的大圆弧，C是AB弧上的任意一点，过C做以A,B为极点的圆,设AF,GF，GB为一条球面曲线，且BG是大圆弧，AF也是大圆弧
则CB=BG,AC=AF,但AF FG GB>AF GB=AC CB=AB.
如果B,E,D,A是另外一条球面上的曲线，过B,D,A的球面三角形中AD BD>AB,
过E,B,A的球面三角形中亦有BE AE>AB。
微积分证明
下面我们利用球面坐标系与微积分给出一个精确的证明。
令A,B是半径为R的球面上的任意两点，C为球心，大圆弧长可以表达为
以C为中心建立直角坐标系，让A在z轴上，则球面上任意一点P的坐标可以写成：
空间中任意曲线的长度可以定义为：
其中s是参数，对球面曲线就有
所以
上式严格成立，也就是要求不论s取值如何都不能离开大圆弧AB时等式严格成立，这就证明了球面上两点的最短距离为大圆弧。这个距离被高斯称为球面测地线。
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