人工智能 数学算法（人工智能No.14数学分析之级数）

【导读：当今人类即将或者已然了进入智能时代，这是·情报通·人工智能科普系列第[14]篇文章，欢迎阅读和收藏】

在数学中，一个有穷或无穷的序列

的元素的形式和 S 称为级数。序列

中的项称作级数的通项。级数的通项可以是实数、矩阵或向量等常量，也可以是关于其他变量的函数，不一定是一个数。如果级数的通项是常量，则称之为常数项级数，如果级数的通项是函数，则称之为函数项级数。常见的简单有穷数列的级数包括等差数列和等比数列的级数。有穷数列的级数一般通过初等代数的方法就可以求得。如果序列是无穷序列，其和则称为无穷级数，有时也简称为级数。无穷级数有发散和收敛的区别，称为无穷级数的敛散性。判断无穷级数的敛散性是无穷级数研究中的主要工作。无穷级数在收敛时才会有一个和；发散的无穷级数在一般意义上没有和，但可以用一些别的方式来定义。

如果级数中的各项可以是正数，负数或零，则级数 称为任意项级数。 将任意项级数各项 取绝对值，得到正项级数。

如果任意项级数收敛，而 级数发散，则称级数条件收敛。

如果级数 收敛，则称级数绝对收敛 。

2.4.1 正项级数

正项级数代表着收敛性最简单的情形。在这种情形，级数级数的部分和 sm=u1 u2 … um 随着 m 单调增长，等价于级数的一般项 un ≥ 0( 因此，有时也称为非负项级数 ) 。于是级数 ( ∑ un) 收敛等价于部分和 (sm) 有界。项越小，部分和就越倾向于有界。

2.4.2 交错级数

正项级数之外，如果一个级数没有正项，或者只有有限个正项，或者只有有限个负项，则其收敛问题都可以归结到一个正项级数的收敛问题，所以只需考虑一个级数既有无限个正项又有无限个负项的情形。在这种级数中，结构最简单的是正负号逐项相间的级数，叫做交错级。对此有莱布尼茨定理：若一交错级数的项的绝对值单调趋于零，则这级数收敛。

2.4.3 幂级数

一类重要的函数级数是形如∑ an(x-x0)^n 的级数，称之为幂级数。它的结构简单 ，收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐项积分等运算。例如幂级数∑ (2x)^n/x 的收敛区间是 [-1/2,1/2] ，幂级数∑ [(x-21)^n]/(n^2) 的收敛区间是 [1 ， 3] ，而幂级数∑ (x^n)/(n!) 在实数轴上收敛。