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圆环刚体的转动惯量推导
写在前面：原文采用 word文档编写，因导入时公式无法正常显示，曾采用图片的方式分享，效果不是很理想。本文将公式采用头条平台 “添加公式”功能输入，所有公式都得到完美呈现，对于追求完美的笔者来说这个功能解决了极大的困扰。因文章较长包含公式较多，本次以系列的形式分享，以便让读者有更好的体验。
一、前言
非标设备常用的机械传动方式，包括皮带传动、链传动、齿轮传动、丝杆传动等等。电机选型是机械传动设计要解决的首要问题，当我们按下启动按钮的那一刻，设备能够按照预想的要求运行起来，设计工程师悬着的心可以放回肚子里去了。电机选型时转动惯量是很重要的参数之一，一般来说我们选用外购标准件如带轮、链轮、齿轮及滚珠丝杆，还有连轴器、轴承等，其转动惯量都可以在制造商提供的型录中查到，它是根据零件的材料、外形结构特征和尺寸计算得到的，通常直接选用即可。
本文将分享圆筒和圆柱体的转动惯量的计算公式及其推导过程，让读者在电机选型过程中做到“知其然也知其所以然”，这样才能真正熟练掌握并灵活应用，在设计和调试、使用过程中遇到问题才能快速解决。本文中公式推导过程非常详尽，读者只要有耐心，不用您动笔就可清楚整个过程。
二、基本概念
转动惯量是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，其数学表达式：
式中：J - 转动惯量；- 刚体的某个质点的质量；- 该质点到转轴的垂直距离。
这是刚性体转动惯量推导计算的基本依据。
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三、圆筒的转动惯量
转轴与圆筒几何轴线重合
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圆筒的转动惯量：
式中：J ─ 圆筒的转动惯量[kg·m]，m ─ 圆筒的质量[kg]，R ─ 圆筒的外半径[m]，r ─ 圆筒的内孔半径[m]
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如图所示，在圆筒上取一微截圆筒，其质量为；
再在该微截圆筒上取一厚度为，半径为 的元圆筒，元圆筒质量为。
由于微截圆筒和元圆筒的厚度非常微小，可将微截圆筒和元圆筒看成质量分别为和的圆环。
（编者注：几何形体尺寸非常小时可以简化其几何形状来进行计算，如把圆弧长度按直线长度来计算，但不可以忽略，这本身就是微积分的精髓之处。这里之所以可以不计厚度，因为导入了面密度的概念，相当于同时不计厚度即面质量、面密度）
圆环的面密度：
元圆筒的面积：
元圆筒的质量：
根据圆环的转动惯量计算公式，元圆筒的转动惯量为：
微截圆筒的转动惯量为：
则整个圆筒的转动惯量为：
以上方法采用对质量进行积分的方式，从计算过程来看没什么问题，但对质量积分不是太好理解。可以采用另一种计算方法，计算过程如下:
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如图所示，圆筒的长度为，质量为，外圆的半径为，孔的半径为
在圆筒上取一厚度为dL的微截圆筒，再在微截圆筒上取半径为的元圆筒。
在元圆筒上取与x轴角度为处，取一段厚度为，弧长为的微弧形块。
弧长对应的角度为，则
圆筒的密度:
因为微弧形块趋于无限小，可以看成是长宽高分别为的长方体，
微弧形块其体积：
微弧形块的质量：
微弧形块对z轴的转动惯量为：
整个圆筒的转动惯量为：
四、圆柱体的转动惯量
1、 转轴与圆柱体几何轴线重合
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圆柱体的转动惯量：
式中：J ─圆柱体的转动惯量[kg·m]，m ─ 圆柱体的质量[kg]，R ─圆柱体的外半径[m]
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在圆柱体上取一微圆柱体，其质量为，由于该微圆柱体厚度极小，可将该微圆柱体看成一圆盘。
在圆盘上取一宽度为，半径为的圆环，记该圆环的质量为。
圆盘的面密度为：
圆环的面积为：，
圆环的质量：
圆环的转动惯量：
圆盘的转动惯量为：
则整个圆柱体的转动惯量为:
与前面计算圆筒的转动惯量一样，同样可以采用另外一种计算方法。圆柱体与圆筒的差异就在圆筒半径的区间，圆柱体半径的区间，所以我们只有改变对积分的区间即可。
圆柱体的密度：
整个圆柱体的转动惯量为：
2、转轴通过圆柱体中心且与几何轴垂直
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圆柱体的转动惯量：
式中：J ─ 圆柱体的转动惯量[kg·m]；m ─ 圆柱体的质量[kg]；R ─ 圆柱体的外半径[m]；L ─ 圆柱体的长度[m]；
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如上左图所示，在圆柱体上取一厚度为的微圆柱体，
如上右图所示，再在微圆柱体上取一宽度为dx的微细长方体，（右图可以看成是左图的右面向视图的放大图），该微细长方体一端的坐标为，设该点与圆心的连线同轴的夹角为，圆柱体的半径为，则有，
圆柱体的密度为：
微细长方体的体积为：
微细长方体的质量为：
，
微细长方体到转轴z的距离为：
（注：这个地方需要有一定的空间想象力）
则微细长方体的转动惯量为：
则整个细微圆柱体的转动惯量为：
将，代入上式得
由倍角公式得，，
则上式：
（因公式长度的限制，此处省略，读者自行脑补）
则整个圆柱体的转动惯量为：
【注】圆柱体的质量：
机械工程文萃，工程师的加油站！
