题：已知a、b大于0，且a√(1-b2) b√(1-a2)=1，求证：a2 b2=1．
这是一道经典代数证明题，对于初中生来说，最容易想到的方法是将已知等式变形——去根号，从而可得如下证法：
证法1：由已知，得：a√(1-b2)=1-b√(1-a2)，
两边平方，得：a2(1-b2)=1-2 b√(1-a2)b√(1-a2) b2 (1-a2)，
整理，得2b√(1-a2)=1-a2 b2，
两边再平方，得：4b2 (1-a2)=1 a4 b4-2a2 2b2-2a2b2，
移项、合并同类项，整理，得
a4 b4 2a2b2-2a2-2b2 1=0，
即(a4 b4 2a2b2)-2(a2 b2) 1=0，
所以(a2 b2)2-(a2 b2) 1=0，
因式分解，得(a2 b2-1)2=0，
所以a2 b2-1=0，a2 b2=1．
点评：去根号是解决无理式问题最常用的基本方法，这种证法虽然显得有点笨拙，但笨中有巧，考验的是大家对算式的运算能力和变形能力．
如果由已知及求证式子想到完全平方公式(x-y)2=x2 y2-2xy，并变形为xy=[( x2 y2)-(x-y)2]/2，则可以直接把已知等式中的a√(1-b2)和b√(1-a2)分别进行转化，得到如下证法：
证法2：由完全平方公式，得
a√(1-b2)={a2 [√(1-b2)]2-[a-√(1-b2)]2}/2
={a2 1-b2-[a-a√(1-b2)]2}/2，
同理，b√(1-a2)= {b2 1-a2-[b-√(1-a2)]2}/2，
两式相加，并整理，得
a√(1-b2) b√(1-a2)
=1-{[a-√(1-b2)]2 [b-√(1-a2)]2}
因为a√(1-b2) b√(1-a2)=1，
所以1=1-{[a-√(1-b2)]2 [b-√(1-a2)]2}，
整理，得[a-√(1-b2)]2 [b-√(1-a2)]2=0，
因为[a-√(1-b2)]2和[b-√(1-a2)]2都是非负数，
所以[a-√(1-b2)]2=0且[b-√(1-a2)]2=0，
所以a=√(1-b2)，b=√(1-a2)，
两边平方，并整理，均可得：a2 b2=1．
点评：完全平方公式不仅是多项式相乘运算的工具，它的变形在解决平方问题中的作用更加重要．
如果从求证的结论入手，既然a2 b2=1可以成立，则1- a2=b2，1-b2=a2，于是已知等式中的a与√(1-b2)，b与√(1-a2)就必须是分别相等的，即a-√(1-b2)=0，b-√(1-a2)=0，因此，可考虑构造[a-√(1-b2)]2 [b-√(1-a2)]2，然后证明[a-√(1-b2)]2 [b-√(1-a2)]2=0．
证法3：设s=[a-√(1-b2)]2 [b-√(1-a2)]2，则
s=a2-2 a√(1-b2) 1-b2 b2-2 b√(1-a2) 1-a2
=2-2[a√(1-b2) b√(1-a2)]，
因为a√(1-b2) b√(1-a2)=1，
所以s=2-2×1=0，
即[a-√(1-b2)]2 [b-√(1-a2)]2=0，
所以a-√(1-b2)=0，b-√(1-a2)=0，
所以a=√(1-b2),b=√(1-a2)，
两边平方，整理，得a2 b2=1．
点评：构造法是数学解题的重要方法之一，根据问题特征及其解题需要构造相关的式子往往是问题解决的关键．
如果把a2 b2作为整体，设为s，让s参与到已知等式的变形中去，则可得如下证法．
证法4：设s= a2 b2，则
把已知等式两边直接平方，得
a2(1-b2) b2(1-a2) 2ab√[1-( a2 b2) a2b2] =1，
整理，得：a2 b2-2 a2b2 2ab√[1-( a2 b2) a2b2]=1，
所以s 2 a2b2 2ab√(1-s a2b2) =1，
移项，得2ab√(1-s a2b2)=1 –s 2 a2b2，
两边再平方，得
4 a2b2 (1-s a2b2)=1 s2 4a4b4-2s 4 a2b2-4 a2b2s，
即4 a2b2 -4a2b2s 4a4b4)=1 s2 4a4b4-2s 4 a2b2-4 a2b2s，
移项、合并同类项，得s2-2s 1=0，
所以(s-1)2=0，s=1，
所以a2 b2=1.
点评：整体思想是数学的重要思想，从整体出发，进行整体处理可以大大简化算式的变形与化简．
如果从已知等式结构想到勾股定理及托勒密定理——圆内接四边形两组对边的乘积之和等于对角线的乘积．此时可以得到如下比较简单的证法：
证法5：如图，构造直径为1的圆O．在⊙O上取点A，作直径AC，作弦AB=a，AD=b，连接BC、CD．
因为AC为直径，所以AC=1，且∠ABC=∠ADC=90°，
所以BC=√(1-a2)，CD=√(1-b2)，
连接BD，则由托勒密定理，得
AB·CD AD·BC=AC·BD，
即a√(1-b2) b√(1-a2)=BD，
因为a√(1-b2) b√(1-a2)=1，
所以BD=1，所以BD是⊙O 的直径，
所以∠BAD=90°，
所以AB2 AD2=BD2，
所以a2 b2=1．
点评：联想是数学学习的基本素养，是打开解题思路的钥匙，由此及彼进行联想，将问题转化为相关的问题．
如果从已知等式中的被开方数1-a2≥0，1-b2≥0，得a2≤1，b2≤1，联想到三角函数的正、余弦，利用三角函数代换可得如下证法．
证法6：设a=sinα，b=sinβ（0°≤α、β≤90°），则已知等式可化为：
sinα√[(1-(sinβ)2] sinβ√[(1-(sinα)2]=1，
即sinα√(cosβ)2 sinβ√(cosα)2=1，
因为0°≤α、β≤90°，所以0≤cosα、cosβ≤1，
所以sinα·cosβ sinβ·cosα=1，
所以sin（α β）=1，
所以α β=90°，
所以sinβ=cosα,
所以a2 b2=(sinα)2 (cosα)2=1．
点评：在数学解题中进行一题多解训练，有利于发散思维的培养，解题思路的开拓和解题能力的提高，从而诱发创新思维．
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