1．（12分）如图，AB是⊙O的直径，弦 AC与 BD交于点 E，且 AC＝BD，连接 AD，BC．
（1）求证：△ADB≌△BCA；
（2）若 OD⊥AC，AB＝4，求弦 AC的长；
（3）在（2）的条件下，延长 AB支点 P，使 BP＝2，连接 PC．求证：PC是⊙O的切线．
2．（12分）如图，已知 AB是⊙O的直径，点 P是⊙O上一点，连接 OP，点 A关于 OP的
对称点 C恰好落在⊙O上．
（1）求证：OP∥BC；
（2）过点 C座⊙O的切线 CD，交 AP的延长线于点 D．如果∠D＝90°，DP＝1，求
⊙O的直径．
3．（12分）如图，正六边形 ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接 BF，延长 BA，
过 F作 FG⊥BA，垂足为 G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）已知 FG＝2 ，求图中阴影部分的面积．
4．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以 AB为直径的⊙O与边 BC，AC分别交于 D，
E两点，过点 D作 DH⊥AC于点 H．
（1）判断 DH与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：H为 CE的中点；
（3）若 BC＝10，cos∠C＝√5/5 ，求 AE的长．
5．（12分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦 AD，BC相交于
点 E．
（1）求证： ＝ ；
（2）若 CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，过点 C作⊙O的切线，交 BA的延长线于点 P，过点 P作 PQ∥
CB交⊙O于 F，Q两点（点 F在线段 PQ上），求 PQ的长．
6．（12分）如图，在菱形 ABCD中，连接 BD、AC交叉点 O，过点 O作 OH⊥BC于点 H，
一点 O为圆心，OH为半径的半圆角 AC于点 M．
①求证：DC是⊙O的切线．
②若 AC＝4MC且 AC＝8，求图中阴影部分的面积．
③在②的条件下，P是线段 BD上的一动点，当 PD为和值时，PH PM的值最小，并求
出最小值．
7．（12分）已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且 AB＝AC，D是 AO延长线上一点，
联结 BD并延长交⊙O于点 E，连接 CD并延长交⊙O于点 F．
（1）求证：BD＝CD；
（2）如果 AB2＝AO•AD，求证：四边形 ABDC是菱形．
8．（12分）如图 1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点 C作∠BCD＝∠
ACB交⊙O于点 D，连接 AD交 BC于点 E，延长 DC支点 F，使 CF＝AC，连接 AF．
（1）求证：ED＝EC；
（2）求证：AF是⊙O的切线；
（3）如图 2，热点 G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求 BG的长．
9．（12分）如图，已知锐角三角形 ABC内接于圆 O，OD⊥BC于点 D，连接 OA．
（1）若∠BAC＝60°，
①求证：OD＝ OA．
②当 OA＝1时，求△ABC面积的最大值．
（2）点 E在线段 OA上，OE＝OD，连接 DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED
（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n 2＝0．
10．（14分）如图 1，⊙O经过等边△ABC的顶点 A，C（圆心 O在△ABC内），分别与 AB，
CB的延长线交于点 D，E，连结 DE，BF⊥EC交 AE于点 F．
（1）求证：BD＝BE．
（2）当 AF：EF＝3：2，AC＝6时，求 AE的长．
（3）设 ＝x，tan∠DAE＝y．
①求 y关于 x的函数表达式；
②如图 2，连结 OF，OB，若△AEC的面积是△OFB面积的 10倍，求 y的值．
11．（12分）如图，AB是⊙O的直径，M、D两点在 AB的延长线上，E是⊙C上的点，且
DE2＝DB•DA，延长 AE至 F，使得 AE＝EF，设 BF＝10，cos∠BED＝ ．
（1）求证：△DEB∽△DAE；
（2）求 DA，DE的长；
（3）热点 F在 B、E、M三点确定的圆上，求 MD的长．
12．（10分）如图，抛物线 y＝ax2 6ax（a为常数，a＞0）与 x轴交于 O，A两点，点 B为
抛物线的顶点，点 D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接 BD并延长与过 O，A，B三点
的⊙P相交于点 C．
（1）求点 A的坐标；
（2）过点 C作⊙P的切线 CE交 x轴于点 E．
①如图 1，求证：CE＝DE；
②如图 2，连接 AC，BE，BO，当 a＝ ，∠CAE＝∠OBE时，求 ﹣ 的值．
1.【分析】（1）可证∠ACB＝∠ADB＝90°，则由 HL定理可证明结论；
（2）可证 AD＝BC＝DC，则∠AOD＝∠ABC＝60°，由直角三角形的性质可求出 AC的
长；
（3）可得出 BC＝BP＝2，∠BCP＝30°，连接 OC，可证出∠OCP＝90°，则结论得证．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝AB，
∴△ADB≌△BCA（HL）；
（2）解：如图，连接 DC，
∵OD⊥AC，
∴ ，
∴AD＝DC，
∵△ADB≌△BCA，
∴AD＝BC，
∴AD＝DC＝BC，
∴∠AOD＝∠ABC＝60°，
∵AB＝4，
∴ ；
（3）证明：如图，连接 OC，
∵BC＝BP＝2
∴∠BCP＝∠P，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BCP＝30°，
∵OC＝OB，∠ABC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCB＝60°，
∴∠OCP＝∠OCB ∠BCP＝60° 30°＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等边三
角形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线是本题的关键．
2.【分析】（1）由题意可知 ＝ ，根据同弧所对的圆心角相等得到∠AOP＝∠POC＝
∠AOC，再根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系得出∠ABC＝ ∠AOC，利用同位
角相等两直线平行，可得出 PO与 BC平行；
（2）由 CD为圆 O的切线，利用切线的性质得到 OC垂直于 CD，有 AD垂直于 CD，利
用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到 OC与 AD平行，根据两直线平行内错角相
等得到∠APO＝∠COP，由∠AOP＝∠COP，等量代换可得出∠APO＝∠AOP，再由 OA
＝OP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形 AOP三内角相等，
确定出三角形 AOP为等边三角形，根据等边三角形的内角为 60°得到∠AOP为 60°，
由 OP平行于 BC，利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC＝∠AOP＝60°，再由 OB
＝OC，得到三角形 OBC为等边三角形，可得出∠COB为 60°，利用平角的定义得到∠
POC也为 60°，再加上 OP＝OC，可得出三角形 POC为等边三角形，得到内角∠OCP
为 60°，可求出∠PCD为 30°，在直角三角形 PCD中，利用 30°所对的直角边等于斜
边的一半可得出 PD为 PC的一半，而 PC等于圆的半径 OP等于直径 AB的一半，可得
出 PD为 AB的四分之一，即 AB＝4PD＝4．
【解答】（1）证明：∵A关于 OP的对称点 C恰好落在⊙O上．
∴ ＝
∴∠AOP＝∠COP，
∴∠AOP＝ ∠AOC，
又∵∠ABC＝ ∠AOC，
∴∠AOP＝∠ABC，
∴PO∥BC；
（2）解：连接 PC，
∵CD为圆 O的切线，
∴OC⊥CD，又 AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠APO＝∠COP，
∵∠AOP＝∠COP，
∴∠APO＝∠AOP，
∴OA＝AP，
∵OA＝OP，
∴△APO为等边三角形，
∴∠AOP＝60°，
又∵OP∥BC，
∴∠OBC＝∠AOP＝60°，又 OC＝OB，
∴△BCO为等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∴∠POC＝180°﹣（∠AOP ∠COB）＝60°，又 OP＝OC，
∴△POC也为等边三角形，
∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC，
又∵∠OCD＝90°，
∴∠PCD＝30°，
在 Rt△PCD中，PD＝ PC，
又∵PC＝OP＝ AB，
∴PD＝ AB，
∴AB＝4PD＝4．
【点评】此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，含 30°直角三角形的性质，
轴对称的性质，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握性质及判定是解本题
的关键．
3.【分析】（1）连接 OF，AO，由 AB＝AF＝EF，得到 ＝ ＝ ，求得∠ABF＝∠AFB
＝∠EBF＝30°，得到 AB∥OF，求得 OF⊥FG，于是得到结论；
（2）由 ＝ ＝ ，得到∠AOF＝60°，得到△AOF是等边三角形，求得∠AFO＝60°，
得到 AO＝4，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接 OF，AO，
∵AB＝AF＝EF，
∴ ＝ ＝ ，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，
∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠BFO＝30°，
∴∠ABF＝∠OFB，
∴AB∥OF，
∵FG⊥BA，
∴OF⊥FG，
∴FG是⊙O的切线；
（2）解：∵ ＝ ＝ ，
∴∠AOF＝60°，
∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AFO＝60°，
∴∠AFG＝30°，
∵FG＝2 ，
∴AF＝4，
∴AO＝4，
∵AF∥BE，
∴S△ABF＝S△AOF，
∴图中阴影部分的面积＝ ＝ ．
【点评】本题考查了正多边形与圆，切线的判定，等边三角形的判定和性质，扇形的面
积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
4.【分析】（1）连结 OD、AD，如图，先利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，则根据等腰
三角形的性质得 BD＝CD，再证明 OD为△ABC的中位线得到 OD∥AC，加上 DH⊥AC，
所以 OD⊥DH，然后根据切线的判定定理可判断 DH为⊙O的切线；
（2）连结 DE，如图，有圆内接四边形的性质得∠DEC＝∠B，再证明∠DEC＝∠C，然
后根据等腰三角形的性质得到 CH＝EH；
（3）利用余弦的定义，在 Rt△ADC中可计算出 AC＝5 ，在 Rt△CDH中可计算出 CH
＝ ，则 CE＝2CH＝2 ，
然后计算 AC﹣CE即可得到 AE的长．
【解答】（1）解：DH与⊙O相切．理由如下：
连结 OD、AD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，即 AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
而 AO＝BO，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴OD⊥DH，
∴DH为⊙O的切线；
（2）证明：连结 DE，如图，
∵四边形 ABDE为⊙O的内接四边形，
∴∠DEC＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠DEC＝∠C，
∵DH⊥CE，
∴CH＝EH，即 H为 CE的中点；
（3）解：在 Rt△ADC中，CD＝ BC＝5，
∵cosC＝ ＝ ，
∴AC＝5 ，
在 Rt△CDH中，∵cosC＝ ＝ ，
∴CH＝ ，
∴CE＝2CH＝2 ，
∴AE＝AC﹣CE＝5 ﹣2 ＝3 ．
【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、切线的判定定理和等腰三角形的判
定与性质；会利用三角函数的定义解直角三角形．
5.【分析】（1）由等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠OBC＝∠CBD，即可证 ＝ ；
（2）通过证明△ACE∽△BCA，可得 ，可得 AC＝2，由勾股定理可求 AB的长，
即可求⊙O的半径；
（ 3）过点 O 作 OH⊥FQ 于点 H，连接 OQ，通过证明△APC∽△CPB，可得
，可求 PA＝ ，即可求 PO的长，通过证明△PHO∽△BCA，
可求 PH，OH的长，由勾股定理可求 HQ的长，即可求 PQ的长．
【解答】证明：（1）∵OC＝OB
∴∠OBC＝∠OCB
∵OC∥BD
∴∠OCB＝∠CBD
∴∠OBC＝∠CBD
∴
（2）连接 AC，
∵CE＝1，EB＝3，
∴BC＝4
∵
∴∠CAD＝∠ABC，且∠ACB＝∠ACB
∴△ACE∽△BCA
∴
∴AC2＝CB•CE＝4×1
∴AC＝2，
∵AB是直径
∴∠ACB＝90°
∴AB＝ ＝2
∴⊙O的半径为
（3）如图，过点 O作 OH⊥FQ于点 H，连接 OQ，
∵PC是⊙O切线，
∴∠PCO＝90°，且∠ACB＝90°
∴∠PCA＝∠BCO＝∠CBO，且∠CPB＝∠CPA
∴△APC∽△CPB
∴
∴PC＝2PA，PC2＝PA•PB
∴4PA2＝PA×（PA 2 ）
∴PA＝
∴PO＝
∵PQ∥BC
∴∠CBA＝∠BPQ，且∠PHO＝∠ACB＝90°
∴△PHO∽△BCA
∴
即
∴PH＝ ，OH＝
∴HQ＝ ＝
∴PQ＝PH HQ＝
【点评】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，
求出 PA的长是本题的关键．
6.【分析】①作 OH⊥BC，证明 OH为圆的半径，即可求解；
②利用 S 阴影＝S△OCB﹣S 扇形OHM＝ CH•OH﹣ OH2，即可求解；
③作M关于 BD的对称点N，连接HN交 BD于点 P，PH PM＝PH PN＝HN，此时 PH PM
最小，即可求解．
【解答】解：①过点 O作 OG⊥CD，垂足为 G，
在菱形 ABCD中，AC是对角线，则 AC平分∠BCD，
∵OH⊥BC，OG⊥CD，
∴OH＝OG，
∴OH、OG都为圆的半径，即 DC是⊙O的切线；
②∵AC＝4MC且 AC＝8，
∴OC＝2MC＝4，
MC＝OM＝2，
∴OH＝2，
在直角三角形 OHC中，HO＝ CO，
∴∠OCH＝30°，∠COH＝60°，
∴HC＝ ，OB＝
S 阴影＝S△OCB﹣S 扇形OHM＝ CO•OB﹣ OH2＝ ﹣ ；
③作 M关于 BD的对称点 N，连接 HN交 BD于点 P，
∵PM＝NP，
∴PH PM＝PH PN＝HN，此时 PH PM最小，
∵ON＝OM＝OH，
∠MOH＝60°，
∴∠MNH＝30°，
∴∠MNH＝∠HCM，
∴HN＝HC＝2 ，
即：PH PM的最小值为 2 ，
在 Rt△NPO中，
OP＝ONtan30°＝ ，
在 Rt△COD中，
OD＝OCtan30°＝ ，
则 PD＝OP OD＝2 ．
【点评】本题为圆的综合运用题，涉及到圆切线的性质及应用、点的对称性、解直角三
角形等知识，其中③，通过点的对称性确定 PH PM最小，是本题的难点和关键．
7.【分析】（1）连接 BC，根据 AB＝AC，OB＝OA＝OC，即可得出 AD垂直平分 BC，根
据线段垂直平分线性质求出即可；
（2）根据相似三角形的性质和判定求出∠ABO＝∠ADB＝∠BAO，求出 BD＝AB，再根
据菱形的判定推出即可．
【解答】证明：（1）如图 1，连接 BC，OB，OC，
∵AB、AC是⊙O的两条弦，且 AB＝AC，
∴A在 BC的垂直平分线上，
∵OB＝OA＝OC，
∴O在 BC的垂直平分线上，
∴AO垂直平分 BC，
∴BD＝CD；
（2）如图 2，连接 OB，
∵AB2＝AO•AD，
∴ ＝ ，
∵∠BAO＝∠DAB，
∴△ABO∽△ADB，
∴∠OBA＝∠ADB，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
∴∠OAB＝∠BDA，
∴AB＝BD，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AB＝AC＝BD＝CD，
∴四边形 ABDC是菱形．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，线段垂直
平分线的性质，菱形的判定，垂径定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题
的关键．
8.【分析】（1）由 AB＝AC知∠ABC＝∠ACB，结合∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC得
∠BCD＝∠ADC，从而得证；
（2）连接 OA，由∠CAF＝∠CFA知∠ACD＝∠CAF ∠CFA＝2∠CAF，结合∠ACB＝∠
BCD得∠ACD＝2∠ACB，∠CAF＝∠ACB，据此可知 AF∥BC，从而得 OA⊥AF，从而
得证；
（3）证△ABE∽△CBA得 AB2＝BC•BE，据此知 AB＝5，连接 AG，得∠BAG＝∠BAD
∠DAG，∠BGA＝∠GAC ∠ACB，由点 G为内心知∠DAG＝∠GAC，结合∠BAD ∠DAG
＝∠GAC ∠ACB得∠BAG＝∠BGA，从而得出 BG＝AB＝5．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠BCD＝∠ADC，
∴ED＝EC；
（2）如图 1，连接 OA，
∵AB＝AC，
∴ ＝ ，
∴OA⊥BC，
∵CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴∠ACD＝∠CAF ∠CFA＝2∠CAF，
∵∠ACB＝∠BCD，
∴∠ACD＝2∠ACB，
∴∠CAF＝∠ACB，
∴AF∥BC，
∴OA⊥AF，
∴AF为⊙O的切线；
（3）∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，
∴△ABE∽△CBA，
∴ ＝ ，
∴AB2＝BC•BE，
∴BC•BE＝25，
∴AB＝5，
如图 2，连接 AG，
∴∠BAG＝∠BAD ∠DAG，∠BGA＝∠GAC ∠ACB，
∵点 G为内心，
∴∠DAG＝∠GAC，
又∵∠BAD ∠DAG＝∠GAC ∠ACB，
∴∠BAG＝∠BGA，
∴BG＝AB＝5．
【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆心角定理、切线的判定与性质、相
似三角形的判定与性质等知识点．
9.【分析】（1）①连接 OB、OC，则∠BOD＝ BOC＝∠BAC＝60°，即可求解；②BC
长度为定值，△ABC面积的最大值，要求 BC边上的高最大，即可求解；
（2）∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣m x﹣n x＝ ∠BOC＝∠DOC，而∠AOD
＝∠COD ∠AOC＝180°﹣m x﹣n x 2mx＝180° m x﹣n x，即可求解．
【解答】解：（1）①连接 OB、OC，
则∠BOD＝ BOC＝∠BAC＝60°，
∴∠OBC＝30°，
∴OD＝ OB＝ OA；
②∵BC长度为定值，
∴△ABC面积的最大值，要求 BC边上的高最大，
当 AD过点 O时，AD最大，即：AD＝AO OD＝ ，
△ABC面积的最大值＝ ×BC×AD＝ ×2OBsin60°× ＝ ；
（2）如图 2，连接 OC，
设：∠OED＝x，
则∠ABC＝m x，∠ACB＝n x，
则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣m x﹣n x＝ ∠BOC＝∠DOC，
∵∠AOC＝2∠ABC＝2mx，
∴∠AOD＝∠COD ∠AOC＝180°﹣m x﹣n x 2mx＝180° m x﹣n x，
∵OE＝OD，∴∠AOD＝180°﹣2x，
即：180° m x﹣n x＝180°﹣2x，
化简得：m﹣n 2＝0．
【点评】本题为圆的综合运用题，涉及到解直角三角形、三角形内角和公式，其中（2），
∠AOD＝∠COD ∠AOC是本题容易忽视的地方，本题难度适中．
10.【分析】（1）根据等边三角形的性质和圆周角定理解答即可；
（2）过点 A座 AG⊥BC于点 G，根据等边三角形的性质和勾股定理解得即可；
（3）①过点 E作 EH⊥AD于点 H，根据三角函数和函数解析式解得即可；
②过点 O作 OM⊥BC于点 M，根据相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，
∵∠DEB＝∠BAC＝60°，∠D＝∠C＝60°，
∴∠DEB＝∠D，
∴BD＝BE；
（2）如图 1，过点 A座 AG⊥BC于点 G，
∵△ABC是等边三角形，AC＝6，
∴BG＝ ，
∴在 Rt△ABG中，AG＝ BG＝3 ，
∵BF⊥EC，
∴BF∥AG，
∴ ，
∵AF：EF＝3：2，
∴BE＝ BG＝2，
∴EG＝BE BG＝3 2＝5，
在 Rt△AEG中，AE＝ ；
（3）①如图 1，过点 E作 EH⊥AD于点 H，
∵∠EBD＝∠ABC＝60°，
∴在 Rt△BEH中， ，
∴EH＝ ，BH＝ ，
∵ ，
∴BG＝x BE，
∴AB＝BC＝2BG＝2xBE，
∴AH＝AB BH＝2xBE BE＝（2x ）BE，
∴在 Rt△AHE中，tan∠EAD＝ ，
∴y＝ ；
②如图 2，过点 O作 OM⊥BC于点 M，
摄 BE＝a，
∵ ，
∴CG＝BG＝x BE＝ax，
∴EC＝CG BG BE＝a 2ax，
∴EM＝ EC＝ a ax，
∴BM＝EM﹣BE＝ax﹣ a，
∵BF∥AG，
∴△EBF∽△EGA，
∴ ，
∵AG＝ ，
∴BF＝ ，
∴△OFB的面积＝ ，
∴△AEC的面积＝ ，
∵△AEC的面积是△OFB的面积的 10倍，
∴ ，
∴2x2﹣7x 6＝0，
解得： ，
∴ ，
【点评】此题是圆的综合题，关键是根据等边三角形的性质、勾股定理和相似三角形的
判定和性质解答．
11.【分析】（1）∠D＝∠D，DE2＝DB•DA，即可求解；
（2）由 ，即： ，即可求解；
（3）在△BED中，过点 B作 HB⊥ED于点 H，36﹣（ ﹣x）2＝（ ）2﹣x2，解得：
x＝ ，则 cos∠β＝ ＝ ，即可求解．
【解答】解：（1）∵∠D＝∠D，DE2＝DB•DA，
∴△DEB∽△DAE；
（2）∵△DEB∽△DAE，
∴∠DEB＝∠DAE＝α，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，又 AE＝EF，
∴AB＝BF＝10，∴∠BFE＝∠BAE＝α，则 BF⊥ED交于点 H，
∵cos∠BED＝ ，则 BE＝6，AE＝8
∴ ，即： ，
解得：BD＝ ，DE＝ ，
则 AD＝AB BD＝ ，
ED＝ ；
（3）点 F在 B、E、M三点确定的圆上，则 BF是该圆的直径，连接 MF，
∵BF⊥ED，∠BMF＝90°，∴∠MFB＝∠D＝β，
在△BED中，过点 B作 HB⊥ED于点 H，
摄 HD＝x，则 EH＝ ﹣x，
则 36﹣（ ﹣x）2＝（ ）2﹣x2，
解得：x＝ ，
则 cos∠β＝ ＝ ，则 sin∠β＝ ，
MB＝BF sin∠β＝10× ＝ ，
DM＝BD﹣MB＝ ．
【点评】此题属于圆的综合题，涉及了直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、
三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合
能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
12.【分析】（1）令 y＝0，可得 ax（x 6）＝0，则 A点坐标可求出；
（2）①连接 PC，连接 PB延长交 x轴于点 M，由切线的性质可证得∠ECD＝∠COE，
则 CE＝DE；
②摄 OE＝m，由 CE2＝OE•AE，可得 ，由∠CAE＝∠OBE 可得 ，则
，综合整理代入 可求出 的值．
【解答】解：（1）令 ax2 6ax＝0，
ax（x 6）＝0，
∴A（﹣6，0）；
（2）①证明：如图，连接 PC，连接 PB，延长交 x轴于点 M，
∵⊙P过 O、A、B三点，B为顶点，
∴PM⊥OA，∠PBC ∠BOM＝90°，
又∵PC＝PB，
∴∠PCB＝∠PBC，
∵CE为切线，
∴∠PCB ∠ECD＝90°，
又∵∠BDP＝∠CDE，
∴∠ECD＝∠COE，
∴CE＝DE．
②解：设 OE＝m，即 E（m，0），
由切割线定理得：CE2＝OE•AE，
∴（m﹣t）2＝m•（m 6），
∴ ①，
∵∠CAE＝∠CBD，
∠CAE＝∠OBE，∠CBO＝∠EBO，
由角平分线定理： ，
即： ，
∴ ②，
由①②得 ，
整理得：t2 18t 36＝0，
∴t2＝﹣18t﹣36，
∴ ．
【点评】本题是二次函数与圆的综合问题，涉及二次函数图象与 x轴的交点坐标、切线
的性质、等腰三角形的判定、切割线定理等知识．把圆的知识镶嵌其中，会灵活运用圆
的性质进行计算是解题的关键．
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日期：2019/8/7 0:03:13；用户：初中数学；邮箱：13838033393；学号：26522812
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