早在 17 世纪, 人们就已经知道可微的函数一定也连续, 也就是说函数的连续性是其可微性的必要条件. 然而, 对连续函数是否也可微却经历了一个漫长的认识过程. 这是因为在 19世纪之前, 微积分学的严密基础并没有得以建立, 有关函数的严格定义仍未取得今天这样的形式. 事实上, 人们一直把函数的概念和作为动点轨迹的几何曲线等同起来. 既然连续的曲线在每一点上都有切线, 因而当时的数学家都相信连续的函数也一定都是可微的. 即使有例外,也不过是在个别几个孤立点或尖点处不可微罢了.
直到 1860 年, 德国大数学家外尔斯特拉斯 (Weierstrass, 1815-1897) 构造了一个函数震惊了当时的数学界. 设 a 为任意一个奇整数, 而 b 是一个小于 1 的正实数, 并且 ab > 1 3π/3. 再定义
不难看出该函数级数一致收敛, 因而 f(x) 是一个连续函数. 然而, 外尔斯特拉斯却证明了该函数处处不可微, 也就是说该函数对应的曲线处处没有切线. 这真是难以想象的一条曲线.外尔斯特拉斯的发现不仅使人们认识到连续性并不蕴含着可微性, 更为重要的是它使数学家们更加不敢过分信赖几何的直觉了. 而且在外尔斯特拉斯以后, 人们又陆续发现了许多形形色色的连续函数, 它们都是处处不可微的. 由此刺激了数学家对不可微连续函数的深入研究, 迫使他们认识到把微积分学建立在严密基础上的必要性, 这就直接导致了实变函数论的诞生.
当然, 像所有的新生事物一样, 无处可微的连续函数一开始并不为人们所接受, 它们往往被看成是一些病态而无意义的函数. 例如, 法国大数学家庞加莱 (Poincaré, 1854-1912) 曾如此评价这种函数: “半个世纪以来我们已经看到了一大堆离奇古怪的函数, 它们被弄得越来越不象那些能解决问题的真正函数了.”厄尔米特也说过这样的话: “我怀着惊恐的心情对不可微函数令人痛惜的祸害感到厌恶.”然而,20 世纪的数学发展证明了即使是这种无处可微的连续函数也是描述自然现象所不可或缺的. 比方说, 布朗运动过程几乎所有的样本轨道都是这种无处可微的连续函数.
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