函数的有些性质,仅仅通过常规的初等变换,或者常规的微积分知识,很难去证伪或验真。近日读书,重拾以前的课本,很多东西都有些陌生了。有一道习题,思索良久方获解答,如下:

题目:不存在实数轴R上的连续函数f,使得f在无理数R\Q上是1-1映射,而在有理数Q上则不是1-1映射。

证明:反证法,假设存在R上的连续函数f,使得f在无理数R\Q上是1-1映射,而在有理数Q上则不是1-1映射。

根据假设,至少存在2个互异的有理数a,b,使得f(a)=f(b)。为了叙述方便,不妨令a<b。由于函数f在闭区间[a,b]上连续,所以f在[a,b]上存在最大值M和最小值m。

如果M=m,那么f在[a,b]上的值是常数,这与“f在R\Q上是1-1映射”的条件相矛盾。所以M和m,至少有一个值与f (a)不相等。不妨令M> f(a),则至少存在1个点c∈(a,b),使得f(c)=M。

记A=(f(a),M),显然也有A=(f(b),M),并且有下关系

多元函数怎么判断连续性(通过实数集基数性质)(1)

由于有理数Q为可数集,基数小于实数集R,所以A\f(Q)不是空集。这个命题的验真,我们最后再补充,此处继续原题证明。即有如下关系

于是对任意s∈A\f(Q),存在x1∈(a,c),x2∈(c,b),有如下关系

多元函数怎么判断连续性(通过实数集基数性质)(2)

而这与“f在R\Q上是1-1映射”相矛盾,所以不存在这样的f。

补充,关于“A\f(Q)不是空集”的简略证明:

  1. A与整个实数轴等势,基数相同(这是为什么呢?有兴趣的自己试试,不难证明);

  2. 一个点x,最多对应一个f(x),所以f(Q)最多与Q等势;

  3. Q的基数小于R的基数;

  4. 所以,集合A的基数大于f(Q)的基数,即A\ f(Q)不等于空集。

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