一、本章知识网络结构:
二、知识回顾:
(一) 映射与函数
1. 映射与一一映射
2.函数
函数三要素是定义域,对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决定作用的要素,因为这二者确定后,值域也就相应得到确定,因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.
3.反函数
反函数的定义
设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,根据这个函数中x,y 的关系,用y把x表示出,得到x=φ
(y). 若对于y在C中的任何一个值,通过x=φ
(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x=φ
(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数,这样的函数x=φ
(y) (y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作
,习惯上改写成
(二)函数的性质
⒈函数的单调性
定义:对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,
⑴若当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则说f(x)在这个区间上是增函数;
⑵若当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
2.函数的奇偶性
7. 奇函数,偶函数:
⑴偶函数:f(-x)=f(x)
设(a,b)为偶函数上一点,则(-a,b)也是图象上一点.
偶函数的判定:两个条件同时满足
①定义域一定要关于y轴对称,例如:y=x² 1在[1,-1]上不是偶函数.
②满足f(-x)=f(x),或f(-x)-f(x)=0,若f(x)≠0时,f(x)/f(-x)=1.
⑵奇函数:f(-x)=-f(x)设(a,b)为奇函数上一点,则(-a,-b)也是图象上一点.奇函数的判定:两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称,例如:y=x³在[1,-1]上不是奇函数.
②满足f(-x)=-f(x),或f(-x) f(x)=0,若f(x)≠0时,f(x)/f(-x)=-1.
8. 对称变换:①y = f(x)
②y =f(x)
③y =f(x)
9. 判断函数单调性(定义)作差法:对带根号的一定要分子有理化,例如:
在进行讨论.
10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.
例如:已知函数f(x)= 1 x/(1-x)
的定义域为A,函数f[f(x)]的定义域是B,则集合A与集合B之间的关系是 . B
解:f(x)的值域是f(f(x))的定义域B,f(x)的值域∈R,故B∈R,而A{x | x≠1},故
.
11. 常用变换:
①f(x y)=f(x)f(y)<==>f(x-y)=f(x)/f(y).
证:f(x-y)=f(y)/f(x)<==>f(x)=f[(x-y)f(y)]
②f(x/y*y)=f(x/y) f(y)
证:f(x)=f(x/y*y)=f(x/y) f(y)
12. ⑴熟悉常用函数图象:
例:
关于y轴对称.
y=|2x² 2x-z|→|y|关于x轴对称.
⑵熟悉分式图象:
例:y=(2x 1)/(x-3)=2 7/(x-3)=>定义域{x|x≠3,x∈R},
值域{y|y≠2,y∈R}→值域≠X前的系数之比.
(三)指数函数与对数函数
指数函数y=a(x次方)(a>0且a≠1)的图象和性质
对数函数y=logax的图象和性质:
对数运算:
以上:
注⑴:当a,b<0时log(a·b)=log(-a) log(-b).
⑵:当m>0时,取:“ ”,当n是偶数时且m<0时,mⁿ>0,而m<0,故取“—”.
例如:
中x>0而
中x∈R).
⑵y=a的x次方(a>0,a≠1)与
互为反函数.
当a>1时,
的a值越大,越靠近x轴;当0<a<1时,则相反.
(四)方法总结
⑴.相同函数的判定方法:定义域相同且对应法则相同.
⑴对数运算:
以上:
注⑴:当a,b<0时,log(a·b)=log(-a) log(-b).
⑵:当M>0时,取“ ”,当n是偶数时且M<0时,Mⁿ>0,而M<0,故取“—”.
例如:
中x>0而
中x∈R).
⑵y=a的x次方(a>0,a≠1)与
互为反函数.
当a>1时,
的a值越大,越靠近x轴;当0<a<1时,则相反.
⑵.函数表达式的求法:①定义法;②换元法;③待定系数法.
⑶.反函数的求法:先解x,互换x、y,注明反函数的定义域(即原函数的值域).
⑷.函数的定义域的求法:布列使函数有意义的自变量的不等关系式,求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0;②偶次根式中被开方数不小于0;③对数的真数大于0,底数大于零且不等于1;④零指数幂的底数不等于零;⑤实际问题要考虑实际意义等.
⑸.函数值域的求法:①配方法(二次或四次);②“判别式法”;③反函数法;④换元法;⑤不等式法;⑥函数的单调性法.
⑹.单调性的判定法:①设x₁,x₂,是所研究区间内任两个自变量,且x₁<x₂;②判定f(x₁)与f(x₂)的大小;③作差比较或作商比较.
⑺.奇偶性的判定法:首先考察定义域是否关于原点对称,再计算f(-x)与f(x)之间的关系:①f(-x)=f(x)为偶函数;f(-x)=-f(x)为奇函数;②f(-x)-f(x)=0为偶;f(x) f(-x)=0为奇;③f(-x)/f(x)=1是偶;f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.
⑻.图象的作法与平移:①据函数表达式,列表、描点、连光滑曲线;②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换;③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.
,