一、平面直角坐标系：
在平面内有公共原点而且互相垂直的两条数轴，构成了平面直角坐标系。
二、知识点与题型总结：
1、由点找坐标：
A 点的坐标记作 A( 2，1 )，规定：横坐标在前, 纵坐标在后。
2、由坐标找点： 例找点 B( 3，-2 ) ？
由坐标找点的方法：先找到表示横坐标与纵坐标的点，然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线，垂线的交点就是该坐标对应的点。
3、各象限点坐标的符号：
① 若点P（x，y）在第一象限，则 x ＞ 0，y ＞ 0 ；
② 若点P（x，y）在第二象限，则 x ＜ 0，y ＞ 0 ；
③ 若点P（x，y）在第三象限，则 x ＜ 0，y ＜ 0 ；
④ 若点P（x，y）在第四象限，则 x ＞ 0，y ＜ 0 。
典型例题：
例1、点 Ｐ的坐标是（２，－３），则点Ｐ在第 四 象限。
例2、若点Ｐ（x，y）的坐标满足 xy﹥０，则点Ｐ在第 一或三 象限。
例3、若点 A 的坐标为(a^2 1, -2–b^2) ,则点A在第 四 象限。
4、坐标轴上点的坐标符号：
坐标轴上的点不属于任何象限。
① x 轴上的点的纵坐标为0，表示为（x，0），
② y 轴上的点的横坐标为0， 表示为（0，y），
③ 原点（0，0）既在x轴上，又在y轴上。
例4、点 P(x,y ) 满足 xy = 0, 则点 P 在 x 轴上或 y 轴上。 .
5、与坐标轴平行的两点连线：
① 若 AB∥ x 轴 ，则 A、B 的纵坐标相同；
② 若 AB∥ y 轴 ，则 A、B 的横坐标相同。
例5、已知点 A（10，5），B（50，5），则直线 AB 的位置特点是（A ）
A、与 x 轴平行 B、与 y 轴平行 C、与 x 轴相交，但不垂直 D、与 y 轴相交,但不垂直
6、象限角平分线上的点：
① 若点 P 在第一、三象限角的平分线上 , 则 P( m, m )；
② 若点 P 在第二、四象限角的平分线上，则 P( m, -m )。
例6、已知点 A（2a 1，2 a）在第二象限的平分线上，试求 A 的坐标。
解：由条件可知：2a 1 （2 a）=0 ，解得 a = -1 ，
∴ A（-1,1）。
例7、已知点 M（a 1，3a-5）在两坐标轴夹角的平分线上，试求 M 的坐标。
解：当在一、三象限角平分线上时，a 1=3a-5 ，
解得：a=3 ∴ M（4，4）
当在二、四象限角平分线上时，a 1 （3a-5 ）=0 ，
解得：a=1 ∴ M（2，-2）
∴M 的坐标为（4，4）或（2，-2）
7、关于坐标轴、原点的对称点：
① 点 (a, b ) 关于 X 轴的对称点是（a , -b ）;
② 点 (a, b ) 关于 Y 轴的对称点是（ -a , b ）;
③ 点(a, b )关于原点的对称点是（ -a , -b ）。
例8、已知点 A（3a-1，1 a）在第一象限的平分线上，试求 A 关于原点的对称点的坐标。
解：由条件得：3a-1=1 a 解得：a=1 ，∴ A（2，2），
∴ A 关于原点的对称点的坐标为（-2，-2）。
8、点到坐标轴的距离：
① 点( x, y )到 x 轴的距离是 ∣y∣;
② 点( x, y )到 x 轴的距离是 ∣x∣。
例9、点Ｐ到 x 轴、y 轴的距离分别是２,１，则点 Ｐ 的坐标可能为 ？
答案：(1,2)、(1,-2)、(-1,2)、(-1,-2) 。
三、知识拓展与提高：
例10、在平面直角坐标系中，已知两点 A（0,1），B（8,5），点 P 在 x 轴上，则 PA PB 的最小值是多少？
解：作点 A（0,1）关于 x 轴的对称点 A'（0，-1），连接 A'B 与 x 轴交于点 P ，
则 A'B 路径最短，即 PA PB 最小。
根据勾股定理得：A'B = √[（1 5)^2 8^2] = 10 。
∴PA PB 的最小值是 10 。
例题11、如图所示，△DEF 是由 △ABC 经过某种变换得到的图形。
① 分别写出 A 与它的对应点 D ，B 与它的对应点 E ，C 与它的对应点 F 的坐标 ；
②各对应点的坐标有什么特征？请用语言文字表述出来 ；
③ 经过上述变换后，若 △ABC 内一点 P（1-2a ， 1-b）在 △DEF 内的对应点为 P‘（-1,3），试求 a , b 的值 。
参考答案：
