一、三角形内外角平分线夹角模型
模型呈现：
如图，已知，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，CH平分∠ACI，BG平分∠EBC，CG平分∠BCF．试探究∠BDC，∠BHC，∠BGC与∠A的关系．
分析：
这是本章的最后一个重要模型，要结合整体思想，外角定理综合运用．
解答：
补充结论：
其实这个模型中，还能有许多发现，比如，
∠GBD＝90°，∠DCH＝90°，
理由是邻补角的角平分线互相垂直．
∠BGC和∠BHC互余，∠BGC和∠BDC互补，
在△DCH中，∠BDC作为外角，∠BDC＝90°＋∠BHC．
例1：
如图，O是三角形三条角平分线的交点，∠1＝15°，则∠2＝_____°．
分析：
本题的关键是，发现∠2的作用，∠2可以作为△AOB的外角，即∠OAB和∠OBA的和，又是∠AOB的邻补角，∠AOB是三角形两内角平分线的夹角，因此本题既可以用一步一步完成，也可用结论模型口算．
解答：
例2：
如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F＝_______．
分析：
本题是一道将三个模型结合在一起的题目，我们要关注哪些角可以求，∠BDC是两内角平分线的夹角，则知道∠A即可求，∠E是两外角，∠MBC，∠NCB的角平分线的夹角，则知道∠BDC即可求，∠F是△EBC的内角∠EBC和外角∠ECQ的角平分线夹角，则知道∠E即可求．
解答：
例3：
分析：
解答：
综上所述，结论正确的是①②③⑤共4个．
二、多边形内外角计算
例1：
一个学生计算多边形的内角和，少算了一个内角，得到答案是1400°，求少算的内角的度数及多边形边数．
分析：
显然，根据多边形内角和公式(n－2)·180°，可知内角和一定是180度的倍数，我们可以用1400除以180，算出其余数，那么自然可得，少算的那个内角与余数的和一定是180度的倍数，而根据多边形每个内角必然小于180°，则这个内角度数就是用180°减去这个余数即可．
解答：
1400°÷180°＝7······140°，
180°–140°＝40°，
设多边形边数为n，
(n–2)·180＝1400＋40，
n＝10
答：少算的内角度数为40°，边数为10．
例2：
一个学生计算多边形的内角和，多算了一个外角，得到答案是1400°，求多算的外角的度数及多边形边数．
分析：
显然，本题是上一题的变式，方法还是用1400除以180，算出其余数，那么多算的外角度数，就是这个余数．
解答：
1400°÷180°＝7······140°，
设多边形边数为n，
(n–2)·180＝1400－140，
n＝9
答：多算的外角度数为140°，边数为9．
例3：
一个多边形每个内角都等于150°，求这个多边形的边数．
分析：
本题不难，但我们要学会多种思路解题，可以从多边形内角和公式入手，也可以逆向思维，求出每个外角的度数，用外角和除以每个外角的度数．
解答：
法1：
设多边形边数为n，
(n–2)·180＝150n，
n＝12
法2：
180°－150°＝30°，
360°÷30°＝12
答：多边形边数为12．
三、作图探究
例：
在△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线，P是射线AC上任意一点(不与A、D、C三点重合)，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，交直线BD于E．
(1)探索∠PDE与∠PED的关系，画出图形并说明理由．
(2)作∠CPQ的角平分线交直线AB于点F，则PF与BD有怎样的位置关系？画出图形并说明理由．
分析：
本题中，点P的位置不确定，在射线AC上，就有多种可能，线段AD上，线段DC上，线段DC延长线上，在延长线上时，又要考虑垂足Q的位置，可能在线段AB上，也可能在线段AB的延长线上．因此，分四种情况讨论．碍于篇幅，我们将两小题的图汇总在一起．
解答：
①点P在线段AD上
(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠C＝90°，
∴∠PED＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠CDB＝90°，
∵∠PDE＝∠CDB，∴∠CBD＋∠PDE＝90°，
∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠EBQ，
∴∠PDE＝∠PED；
(2)在四边形PQBC中，
∠CPQ＋∠CBA＝360°－2×90°＝180°
∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA
∴∠1＋∠2＝90°
∵∠1＋∠3＝90°
∴∠2＝∠3，PF∥BD
②点P在线段DC上
(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠C＝90°，
∴∠BEQ＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠PDE＝90°，
∵∠PED＝∠BEQ，∴∠PED ＋∠EBQ＝90°，
∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠EBQ，
∴∠PDE＝∠PED；
(2)在四边形PQBC中，
∠CPQ＋∠CBA＝360°－2×90°＝180°
∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA
∴∠1＋∠2＝90°
∵∠1＋∠3＝90°
∴∠2＝∠3，PF∥BD
③点P在线段DC延长线上，点Q在线段AB上
(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠ACB＝90°，
∴∠BEQ＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠PDE＝90°，
∵∠PED＝∠BEQ，∴∠PED ＋∠EBQ＝90°，
∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠EBQ，
∴∠PDE＝∠PED；
(2)∵∠CPQ＋∠A＝90°
∠CBA＋∠A＝90°
∴∠CPQ＝∠CBA
∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA
∴∠1＝∠2
∵∠1＋∠3＝90°
∴∠2＋∠3＝90°，PF⊥BD
④点P在线段DC延长线上，点Q在线段AB延长线上
(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠ACB＝90°，
∴∠PED＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠PDE＝90°，
∵∠ABD＝∠EBQ，∴∠PED ＋∠ABD＝90°，
∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠ABD，
∴∠PDE＝∠PED；
(2)∵∠CPQ＋∠A＝90°
∠CBA＋∠A＝90°
∴∠CPQ＝∠CBA
∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA
∴∠1＝∠2
∵∠1＋∠3＝90°
∴∠2＋∠3＝90°，PF⊥BD
上讲思考题答案
