机械能守恒定律
1．(多选)有一款蹿红的微信小游戏“跳一跳”，游戏要求操作者通过控制棋子(质量为m，可视为质点)脱离平台时的速度，使其能从平台跳到旁边的同一水平面上的另一平台。如图所示的抛物线为棋子在某次跳跃过程中的运动轨迹，轨迹的最高点距平台上表面高度为h，不计空气阻力，重力加速度为g，则( )
B．棋子从离开平台至运动到最高点的过程中，机械能增加mgh
C．棋子离开平台后距平台面高度为时的动能为
D．棋子落到另一平台上时的速度大于
A．t1时刻小球的速度最大
B．t2时刻小球所受合力为零
C．以地面为零重力势能面，t1和t3时刻小球的机械能相等
D．以地面为零重力势能面，t1～t3时间内小球的机械能守恒
1．关于重力势能，下列说法中正确的是( )
A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了
D．重力势能的减少量等于重力对物体做的功
2．在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出。不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小( )
A．一样大 B．水平抛出的最大
C．斜向上抛出的最大 D．斜向下抛出的最大
3．把小球放在竖立的弹簧上，并把球往下按至A位置，如图甲所示。迅速松手后，球升高至最高位置C(图丙)，途中经过位置B时弹簧正处于原长(图乙)。忽略弹簧的质量和空气阻力。则小球从A位置运动到C位置的过程中，下列说法正确的是( )
B．经过位置B时小球的速度最大
C．小球、地球、弹簧所组成系统的机械能守恒
D．小球、地球、弹簧所组成系统的机械能先增大后减小
4．(多选)如图所示，A、B两物体的质量分别为m、2m，中间用轻杆相连，放在光滑的斜面上。现将它们从静止释放，在下滑的过程中( )
B．轻杆对A做正功，对B做负功
C．系统的机械能守恒
D．任意时刻两物体重力的功率相同
5．(多选)如图所示，在一个直立的光滑圆管内放置一根轻质弹簧，弹簧的上端O与管口A的距离为2x0，一个质量为m的小球从管口由静止开始下落，将弹簧压缩至最低点B，压缩量为x0，设小球运动到O点时的速度大小为v0，不计空气阻力，则在这一过程中( )
B．小球运动的最大速度等于v0
C．弹簧的劲度系数为
D．弹簧的最大弹性势能为3mgx0
6．(多选)如图，固定于小车上的支架上用细线悬挂一小球。线长为L。小车以速度v0做匀速直线运动，当小车突然碰到障碍物而停止运动时，小球上升的高度的可能值是( )
C．大于 D．等于2L
7．如图所示，半径为R＝0.4 m的光滑的圆弧形轨道固定于竖直平面内，圆弧形轨道与足够长的光滑固定水平轨道相切，可视为质点的质量均为m＝0.5 kg的小球甲、乙用轻杆连接并置于圆弧形轨道上，小球甲与O点等高，小球乙位于圆心O的正下方。某时刻将两小球由静止释放，最终它们在水平轨道上运动。g取10 m/s2，则( )
B．两小球最终在水平轨道上运动的速度大小为2 m/s
C．当小球甲滑到圆弧轨道最低点时，轨道对它的支持力大小为10 N
D．小球甲下滑过程中重力对它做功的功率增大
8．(多选)如图所示，一个固定在竖直平面内的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内从A点到B点做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.4 s后又恰好垂直与倾角为45° 的斜面相碰。已知半圆形管道的半径为R＝1 m，小球可看做质点且其质量为m＝1 kg，g取10 m/s2。下列判断正确的是( )
B．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.8 m
C．小球经过管道内O点等高点时，重力的瞬时功率是－60 W
D．小球经过管道的A点时，对管道外壁压力是66 N
9．如图所示，一根足够长的光滑细杆倾斜固定放置在竖直平面内，它与以O为圆心、R为半径的圆(图中虚线表示)相交于B、C两点，一轻弹簧一端固定在圆心O点，另一端连接一质量为m的小球，小球穿在细杆上且能自由滑动，小球由圆心正上方的A点静止释放，经过B点时弹簧恰好处于原长，此时小球速度为v，整个过程弹簧均在弹性限度内，则小球从A点到C点的运动过程中，下列判断正确的是( )
B．小球经过B点时速度最大
C．小球经过C点时速度一定大于v
D．小球重力势能和动能之和先减小后增大再减小
10．(多选)在一次探究活动中，某同学设计了如图所示的实验装置，小车的质量M＝1 kg、长L＝4 m，半径R＝1 m的光滑半圆弧轨道固定在小车的上表面的中点位置，半圆弧轨道下端与小车的上表面水平相切，现让位于轨道最低点的质量m＝0.2 kg的光滑小球随同小车一起沿光滑水平面向右做匀速直线运动，某时刻小车碰到固定障碍物而瞬时处于静止状态(小车不反弹)，之后小球离开圆弧轨道最高点并恰好落在小车的左端边沿处，该同学通过这次实验得到了如下结论，其中正确的是(g取10 m/s2)( )
B．小车与障碍物碰撞时损失的机械能为12.5 J
C．小车瞬时静止后，小球在轨道最低点对轨道的压力是12 N
D．小车向右做匀速直线运动的速度约为6.5 m/s
11．(多选)如图甲所示，在竖直平面内固定一光滑的半圆形轨道ABC，小球以一定的初速度从最低点A冲上轨道，图乙是小球在半圆形轨道上从A运动到C的过程中，其速度的平方与其对应高度的关系图像。已知小球在最高点C受到轨道的作用力为2.5 N，空气阻力不计，B点为AC轨道的中点，g＝10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．图乙中x＝36
B．小球质量为0.2 kg
C．小球在B点受到轨道的作用力为8.5 N
D．小球在A点时重力的功率为5 W
12．如图所示，光滑水平轨道AB与光滑半圆形轨道BC在B点相切连接，半圆轨道半径为R，轨道AB、BC在同一竖直平面内。一质量为m的物块在A处压缩弹簧，并由静止释放，物块恰好能通过半圆轨道的最高点C。已知物块在到达B点之前已经与弹簧分离，重力加速度为g。求：
(1)物块由C点平抛出去后在水平轨道的落点到B点的距离；
(2)物块在B点时对半圆轨道的压力大小；
(3)物块在A点时弹簧的弹性势能。
13．如图所示，钉子A、B相距5l，处于同一高度。细线的一端系有质量为M的小物块，另一端绕过A固定于B。质量为m的小球固定在细线上C点，B、C间的线长为3l。用手竖直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时BC与水平方向的夹角为53°。松手后，小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零，然后向下运动。忽略一切摩擦，重力加速度为g，取sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。求：
(1)小球受到手的拉力大小F；
(2)物块和小球的质量之比M∶m；
(3)小球向下运动到最低点时，物块M所受的拉力大小T。
答案与解析
1．【答案】AD
【解析】以平台表面为零势能面，则棋子在最高点的重力势能为mgh，故棋子从离开平台至运动到最高点的过程中，重力势能增加mgh，A正确；棋子从离开平台至运动到最高点的过程中，不计空气阻力，只有重力做功，机械能守恒，B错误；棋子在最高点的机械能E＝mgh＋mvx2，vx为棋子在最高点的速度。由于机械能守恒，则棋子离开平台后距平台面高度为时，动能为E－mgh＝mgh＋mvx2>，故C错误；设棋子落到平台时的瞬时速度大小为v，棋子从最高点落到平台的过程中，根据动能定理得mgh＝mv2－mvx2，解得v＝>，D正确。
2．【答案】C
【解析】根据题述，结合弹簧弹力随时间变化的图线，金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，t1时刻接触弹簧，由于重力大于弹簧弹力，小球还要加速向下运动，当弹力增大到等于小球重力时，小球速度最大，选项A错误；t2时刻弹簧被压缩到最短，弹簧的弹力最大，小球所受合力向上，选项B错误；t1时刻和t3时刻小球的速度大小相等，动能相同，距离地面高度相同，以地面为零重力势能面，t1时刻和t3时刻小球的机械能相等，选项C正确；以地面为零重力势能面，t1～t3时间内，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，但由于小球受到弹簧的弹力作用，小球的机械能先减小后增大，选项D错误。
1．【答案】D
【解析】物体的重力势能与参考面有关，同一物体在同一位置相对不同的参考面时，重力势能不同，选项A错误；物体在零势能面以上，与零势能面的距离越大，重力势能越大，物体在零势能面以下，与零势能面的距离越大，重力势能越小，选项B错误；重力势能中的正、负号表示大小，－5 J的重力势能小于－3 J的重力势能，选项C错误；重力做的功量度了重力势能的变化，选项D正确。
2．【答案】A
【解析】不计空气阻力的抛体运动，机械能守恒。故以相同的速率向不同的方向抛出落至同一水平地面时，物体速度的大小相等。故只有选项A正确。
3．【答案】C
【解析】A到B的过程中，小球先加速后减速，当加速度为零时，弹力等于重力，速度最大，但位置在B点下方，故A、B选项均错误；小球由A到C的过程中，只有重力和弹簧的弹力做功，小球、地球和弹簧组成的系统机械能守恒，选项C正确，D错误。
4．【答案】AC
【解析】因为两物体用轻杆连接，一起运动，加速度相同，两物体整体受力分析得：(2m＋m)gsinθ＝(2m＋m)a，整体加速度a＝gsinθ，A正确；设杆对B的力为F，隔离B可得：2mgsinθ＋F＝2ma，且a＝gsinθ，所以F＝0，B错误；只有重力对系统做功，动能和重力势能相互转化，机械能守恒，C正确；因为重力功率等于P＝mgvy，虽然两物体速度相同，但是质量不一样，重力功率不一样，D错误。
5．【答案】AD
【解析】当小球加速度为0时，小球速度最大，kx＝mg，所以速度最大位置在压缩量为位置，从O点到压缩量为位置，小球合力向下，依然加速，最大速度大于v0，A正确，B错误；结合A选项的分析，kx＝mg，x为速度最大的位置，x0为速度为0的位置，所以x<x0，所以k＝>，C错误；对小球全程用机械能守恒定律：mg3x0＝Epm，D正确。
6．【答案】ABD
【解析】当小车突然碰到障碍物而停止运动时，由于惯性小球的速度仍为v0，若v0可以满足小球做圆周运动，则小球可以上升的最高点正好为圆的直径，即为2L，若小球不能做圆周运动，则根据机械能守恒可得mv02＝mgh，解得h＝，若空气阻力不能忽略，则小球的机械能不守恒，上升高度小于，故A、B、D正确。
7．【答案】C
【解析】下滑过程中，杆要对小球乙做功，则小球乙的机械能不守恒，选项A错误；系统机械能守恒，故有mgR＝mv2＋mv2，解得v＝＝ m/s＝2 m/s，故B错误；当小球甲下滑到圆弧形轨道最低点时，由重力和支持力的合力提供向心力有N－mg＝m，解得N＝mg＋m＝0.5×10 N＋0.5× N＝10 N，故C正确；小球甲下滑过程中，在最高点时的速度为零，故重力的功率为零；在最低点时的速度和重力垂直，故重力的功率也是零；而中途重力的功率不为零，故重力的功率应该是先增加后减小，故D错误。
8．【答案】ACD
【解析】小球从B到C的运动时间为t＝0.4 s，那么，小球在C点的竖直分速度为：vy＝gt＝4 m/s；由小球恰好垂直与倾角为45° 的斜面相碰可知：小球从B点水平射出的速度v＝vycot 45°＝4 m/s，故小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离为：s＝vt＝1.6 m；h＝gt2＝×10×0.42 m＝0.8 m，hCO＝R－h＝1－0.8＝0.2 m，故A正确，B错误；从管道内O点等高点到B点，由机械能守恒定律得：－mgR＝mv2－mv02，重力的功率PG＝－mgv0＝－60 W，故C正确；从管道内A点等高点到B点，由机械能守恒定律得：－mg2R＝mv2－mvA2，在A点，有FN－mg＝m，解得FN＝66 N，故D正确。
9．【答案】C
【解析】小球从A点到C点的运动过程中，小球与弹簧组成的系统能量守恒，小球的机械能不守恒，故A不正确。小球经过B点时弹簧恰好处于原长，此时小球速度为v，则小球经过C点时弹簧恰好也处于原长，小球从B到C重力做正功，小球动能增加，小球经过C点时速度一定大于v，故B不正确，C正确。分析知弹簧原来处于伸长状态，小球从A到B，弹簧的弹力做正功，弹性势能减少，小球的重力势能和动能之和先增加；小球从B到BC的中点过程中，弹簧被压缩，弹性势能增加，则小球的重力势能和动能之和就减少；小球从BC中点到C的过程中，弹簧伸长，弹性势能减少，则小球的重力势能和动能之和就增加，所以小球从A点到C点的运动过程中，小球重力势能和动能之和先增加后减少再增加，故D不正确。
10．【答案】AC
【解析】从最高点做平抛运动，下落时间为t＝＝ s＝ s，抛出时的速度为v＝＝ m/s＝ m/s，故A正确；小球在上滑过程中由动能定理可知－mg·2R＝mv2－mv02，解得v0＝5 m/s，故小车和小球向右运动的速度为5 m/s≈7.07 m/s，故小车损失的机械能为ΔE＝Mv02＝×1×(5)2 J＝25 J，故B错误，D错误；碰撞后小球开始做匀速圆周运动，在最低点由牛顿第二定律得：FN2－mg＝m，解得：FN2＝12 N，由牛顿第三定律可知对轨道的压力为12 N，故C正确。
11．【答案】BC
【解析】小球在光滑轨道上运动，只有重力做功，故机械能守恒，所以有mv02＝mv2＋mgh，解得v2＝－2gh＋v02，当h＝0.8 m时，v2＝9 m2/s2，代入数据得v0＝5 m/s；当h＝0时，v2＝v02＝25 m2/s2，x＝25，故A错误；由题图乙可知，轨道半径R＝0.4 m，小球在C点的速度vC＝3 m/s，由牛顿第二定律可得F＋mg＝m，解得m＝0.2 kg，B正确；小球从A到B过程中由机械能守恒有mv02＝mvB2＋mgR，解得小球运动到B点的速度vB＝ m/s，在B点，由牛顿第二定律可知NB＝m，代入数据得NB＝8.5 N，选项C正确；小球在A点时，重力mg和速度v0垂直，重力的瞬时功率为0，D错误。
12．【解析】(1)因为物块恰好能通过C点，则有：
mg＝m
x＝vCt,2R＝gt2
解得x＝2R
即物块在水平轨道的落点到B点的距离为2R。
(2)物块由B到C过程中机械能守恒，则有：
mvB2＝2mgR＋mvC2
设物块在B点时受到的半圆轨道的支持力为FN，则有：
FN－mg＝m
解得FN＝6mg
由牛顿第三定律可知，物块在B点时对半圆轨道的压力大小FN′＝FN＝6mg。
(3)由机械能守恒定律可知，物块在A点时弹簧的弹性势能为Ep＝2mgR＋mvC2
解得Ep＝mgR。
13．【解析】(1)由几何知识可知AC⊥BC，根据平衡
(F＋mg)cos 53°＝Mg
解得F＝Mg－mg。
(2)与A、B相同高度时
小球上升h1＝3lsin 53°，
物块下降h2＝2l，
物块和小球组成的系统机械能守恒mgh1＝Mgh2
解得＝。
(3)根据机械能守恒定律，小球向下运动到最低点时，恰好回到起始点，设此时物块受到的拉力为T，加速度大小为a，由牛顿第二定律得Mg－T＝Ma
对小球，沿AC方向由牛顿第二定律得T－mgcos 53°＝ma
解得T＝
结合(2)可得T＝或mg或Mg。
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