莱布尼兹级数是数学中常见的一个级数,这个级数最显著的特点就是分母都是奇数,分子都是1,他首次有数学家莱布尼兹给出,这是一个伟大的发现。本篇我们就从初等数学原理出发来证明这个伟大的发现。
前面的相关的文章,我们已经知道用sinx根式的线性因式的无穷乘积来表示sinX,我们在此引入自然对数的形式,这个对数将彻底改变sinx无穷乘积的线性因式
根据对数的基本原理,上式的乘积形式就变成了对数形式下的加法运算,如下
我们将上式两边求导,左边等式就等于cosx/sinx,那么右边的等式求导就得到
求导后,右边等式第一个项和第二项就变成了如下的样式
右边第三项求导就是1/(π X)
最终我们得到等式左边和右边求导后的所有样式
我们让X=π/4,就得到
整理上式得到
所以等式左边等于1
最终我们得到莱布尼兹的级数形式
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