等腰直角三角形是一种特殊的三角形。具有两直角边相等,两锐角相等,斜边中线角平分级垂线三线合一等性质。今天我们就利用它的性质来解一道题。

如图,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点E是边AC上一点,点D是BE延长线上一点,过点A作AF⊥BD于点F,连接CD,CF,当AF=DF时,求证:DC=BC。

我们一起来分析一下这道题。

等腰直角三角形的八大题型(活用等腰直角三角形的性质解题)(1)

从图中我们可以看到,因为RtΔABC是等腰直角三角形,要证明DC=BC,只需证明DC=AC就可以了。

而在ΔCFD和ΔCFA中,AF=DF,CF=CF,如果能证明∠AFC=∠DFC,就可证明两个三角形全等,DC=AC。

而∠AFC=∠AFE ∠CFE,AF⊥BD,∠AFE=∠AFD=90°,只需证明∠EFC=45°,就可以得到∠AFC=∠DFC=135°。

于是,我们就要想办法把∠EFC构建在一个等腰直角三角形中。从图中可知有两种做辅助线的方法:

等腰直角三角形的八大题型(活用等腰直角三角形的性质解题)(2)

一是如图二,过点C作CG⊥BD于点G; 虽然能很容易判明AF∥CG,∠ACG=∠EAF=∠CBE,但无法证明别的关系,不能确定RtΔCGF是等腰直角三角形,∠EFC=45°。

第二种作辅助线的方法如图三,过点C作CG⊥CF,交BD于点G。

等腰直角三角形的八大题型(活用等腰直角三角形的性质解题)(3)

因为CG⊥CF,所以∠FCG=90°,∠ECG ∠FCE=90°

由已知条件知∠ACB=90°,∠ECG ∠GCB=90°

∠FCE=∠GCB

因为RtΔAFE与RtΔBCE构成8字模型,所以∠EAF=∠CBE

在ΔACF和ΔBGC中

∠EAF=∠CBE

AC=AB

∠FCE=∠GCB

所以ΔACF≌ΔBGC,CF=CG

因为CG⊥BD,所以ΔCGF为直角三角形

又因为CF=CG,所以ΔCGF为等腰直角三角形,∠EFC=∠FCG=45°

所以∠AFC=∠AFE ∠EFC =135°,所以∠DFC=135°

在ΔACF和ΔDCF中

AF=DF

∠AFC=∠DFC

CF=CF

所以ΔACF≌ΔDCF,CD=AC

所以CD=BC

这是我对这道题的解析,希望能对朋友们有所帮助,更期待得到您更简捷的方法。

,