作者：南开大学 张洪光
欧拉，L．1707年4 月15日生于瑞士巴塞尔； 1783 年 9 月 18 日卒于俄国圣彼得堡。数学家、力学家、天文学家、物理学家．
欧拉的祖先原来居住在瑞士东北部博登湖(康斯坦斯湖)畔的小城—林道。16 世纪末，他的曾祖父汉斯·乔治·欧拉带领全家顺莱茵河而下，迁居巴塞尔．这个家族几代人多为手艺劳动者．欧拉的父亲保罗·欧拉则毕业于巴塞尔大学 神学系，是基督教新教的牧师．1706 年，保罗与另一位牧师的女儿玛格丽特·勃鲁克结婚．翌年春，欧拉降生．1708 年，保罗举家迁居巴塞尔附近的村庄—里亨．欧拉就在这 田园静谧的乡村度过他的童年。
欧拉的父亲很喜爱数学．还在大学读书时，他就常去听雅格布· 伯努利的数学讲座．他亲自对欧拉进行包括数学在 内的启蒙教育，并盼望儿子成为教门的后起之秀．贤惠的母亲为了使欧拉及时受到良好的学校教育，把他送到巴塞尔外祖母家生活了几年，入那里的一所文科中学念书．可是，这所学校不教数学．勤勉好 学的欧拉独自随业余数学家 J．伯克哈特学习．欧拉聪敏早慧，酷爱数学。他曾下苦功研读 C．鲁道夫的《代数学》 达数年之久。
1720年秋，年仅13岁的欧拉进了巴塞尔大学文科．当时，约翰· 伯努利任该校数学教授．他每天讲授基础数学课 程，同时还给那些有兴趣的少数高材生开设更高深的数学、物理学讲座．欧拉是约翰·伯努利的最忠实的听众．他勤奋地学习所有的科目， 但仍不满足．欧拉后来在自传中写道：“……不久，我找到了一个把 自己介绍给著名的约翰·伯努利教授的机会．……他确实忙极了，因此断然拒绝给我个别授课．但是，他给了我许多更加宝贵的忠告，使我开始独立地学习更困难的数学著作，尽我所能努力地去研究它们．如果我遇到什么障碍或困难，他允许我每星期六下午自由地去找他，他总是和蔼地为我解答一切疑难……无疑，这是在数学学科上获得成功的最好的方法．”约翰的两个儿子尼吉拉·伯努利第二、丹尼尔·伯努利，也成了欧拉的挚友。
1722 年夏，欧拉在巴塞尔大学获学士学位．翌年，他又获哲学硕士学位．但授予这一学位是在 1724 年 6 月 8 日的会议上正式通告的． 此前，他为了满足父亲的愿望，于 1723 年秋又入神学系．他在神学、 希腊语、希伯莱语方面的学习并不成功．他仍把大部分时间花在数学上．尽管欧拉后来彻底放弃了当牧师的念头，但他却终生虔诚地信奉基督教。
欧拉18岁开始其数学研究生涯．1726 年，他在《博学者》上发表了关于在有阻尼的介质中的等时曲线结构问题的 文章．翌年，他研究弹道问题和船桅的最佳布置问题．后者是这年巴黎科学院的有奖征文课题．欧拉的论文虽未获得奖金，却得到了荣誉提名．此后，从 1738 年至 1772 年，欧拉共获得巴黎科学院12 次奖金。
在瑞士，当时青年数学家的工作条件非常艰难，而俄国新组建的圣彼得堡科学院正在网罗人才．1725 年秋，尼古拉第二和丹尼尔应聘前往俄国，并向当局力荐欧拉．翌年秋，欧拉在巴塞尔收到圣彼得堡科学院的聘书，请他去那里任生理学院士助理．然而，故土难离．欧拉开始用数学和力学方法研究生理学，同时仍期望在巴塞尔大学找到 职位．恰好，这时该校有一位物理学教授病故，出现空席．欧拉向学校教授评议会递交了“论声音的物理学原理”的论文，争取教授资格．在激烈的竞争中，未满 20岁的欧拉落选了．1727 年 4 月 5 日欧拉告别故乡，5 月 24 日抵达圣彼得堡．从那时起，欧拉的一生和他的科学工作都紧密地同圣彼得堡科学院和俄国联系在一起．他再也没有回过瑞士．但是，出于对祖国 的深厚感情，欧拉始终保留了他的瑞士国籍。
欧拉到达圣彼得堡后，立即开始研究工作．不久，他获得了在真正擅长的领域从事研究工作的机会．1727年，他被任命为科学院数学部助理院士．他撰写的关于圣彼得堡科学院学术会议情况的调查报告，也开始在《圣彼得堡科学院汇刊(1727)》第二卷上发表．尽管那些年俄国政局动荡，圣彼得堡科学院还处在艰难岁月之中，但周围的学术气氛对发展欧拉的才华特别有利．那里聚集着一群杰出的科学家，如数学家 C．哥德巴赫、丹尼尔·伯努利，力学家 J．赫尔曼，三角学家 F．梅尔，天文学家和地理学家 J．N．德莱索等．他们同欧拉的个人情谊与共同的科学兴趣，使得彼此在科研工作中配合默契、相得益彰．1731年，欧拉成为物理学教授．1733 年，丹尼尔·伯努利返回巴塞尔后，欧拉接替了他的数学教授职务，担负起领导科学院数学部的重任．这对亲密的朋友，以后通信40 多年，促进了科学的竞争和发展．是年冬，欧拉和科学院预科学校的美术教师、 瑞士画家 G．葛塞尔的女儿柯黛林娜·葛塞尔结婚．翌年，其长子约翰·阿尔勃兰克降生．1740 年，卡尔出世．恬静、美满的家庭生活伴随着欧拉科学生涯的第一个黄金时期。
还在圣彼得堡科学院建成之初，俄国政府就责成它除了进行纯科学研究之外，还要培养、训练俄国科学家．为此，科学院建立了一所大学和预科学校，大学办了近 50 年，预科学校一直办到1805 年．俄国政府还委托科学院制定俄国的地图，解决各种具体技术问题．欧拉积极参与并领导了科学院的这些工作．从 1733 年起，他和德莱索成 功地进行了地图研究．从 30 年代中期开始，欧拉以极大的精力研究航海和船舶建造问题．这些问题对于俄国成为海上强国，是具有重大意义的．欧拉是各种技术委员会的成员，又担任科学院考试委员会委 员．他既要为科学院的期刊撰稿、审稿，还要为附属大学、预科学校准备讲义、开设讲座，工作十分忙碌．然而，他的主要成就是在数学研究上。
在圣彼得堡的头14年间，欧拉以无可匹敌的工作效率在分析学、 数论和力学等领域作出许多辉煌的发现．截止 1741年，他完成了近 90种著作，公开发表了55种，其中包括1936 年完成的两卷本《力学或运动科学的分析解说》．他的研究硕果累累，声望与日俱增，赢得了各国科学家的尊敬．欧拉从前的导师约翰·伯努利早在1728年的信中就称他为“最善于学习和最有天赋的科学家”，1737年又称他是“最驰名和最博学的数学家”。欧拉后来谦逊地说：“……我和所有其他 有幸在俄罗斯帝国科学院工作过一段时间的人都不能不承认，我们应把所获得的一切和所掌握的一切归功于我们在那儿拥有的有利条件”。
由于过度的劳累，1738 年，欧拉在一场疾病之后右眼失明了．但他仍旧坚韧不拔地工作．他热爱科学，热爱生活．他非常喜欢孩子(他一生有过13 个孩子，除了 5 个以外都夭亡了)．写论文时往往膝上抱着婴儿，大一点的孩子则绕膝戏耍．他酷爱音乐．在撰写艰深的数学论文时，他的“那种轻松自如是令人难以置信的”。
1740 年秋冬，俄国政局再度骤变，形势极不安定．欧拉此时与圣彼得堡科学院粗鲁、专横的顾问 J．D．舒马赫尔也产生了磨擦．为了使自己的科学事业不受损害，欧拉希望寻求新的出路． 恰好这年夏天继承了普鲁士王位的腓特烈大帝决定重振柏林科学院，他热情邀请欧拉去柏林工作．欧拉接受了邀请．1741 年 6 月 19 日，欧拉启程离开圣彼得堡，7 月 25 日抵达柏林。
柏林科学院是在 G．W．莱布尼茨的大力推动下于1700 年创立的，后来它衰落了．欧拉在柏林25年．那时，他精力旺盛， 不知疲倦地工作．他鼎力襄助院长 P．莫佩蒂，在恢复和发展柏林科学院的工作中发挥了重大作用。
在柏林，欧拉任科学院数学部主任．他是科学院的院务委员、图书馆顾问和学术著作出版委员会委员．他还担负了其他许多行政事务，如管理天文台和植物园，提出人事安排，监督财务，以及历书和地图的出版工作．当院长莫佩蒂外出期间，欧拉代理院长．1759 年莫佩蒂去世后，虽然没有正式任命欧拉为院长，但他实际上一直领导着科学院的工作．欧拉和莫佩蒂的友谊，使欧拉能对柏林科学院的一切活动，尤其是在选拔院士方面，施加巨大影响。
欧拉还担任过普鲁士政府关于安全保险、退休金和抚恤金等问题的顾问，并为腓特烈大帝了解火炮方面的最新成果(1745 年)，设计改造费诺运河(1749 年)，曾主管普鲁士皇家别墅水力系统管系和泵系的设计工作．他和德国许多大学的教授保持广泛联系，对大学教科书的 编写和数学教学起了促进作用．
在此期间，欧拉一直保留着圣彼得堡科学院院士资格，领取年俸．受该院委托，欧拉为其编纂院刊的数学部分，介绍西欧的科学思想，购买书籍和科学仪器，同时推荐研究人员和课题．他在培养俄国的科学人才方面起了重大的作用．他还经常把自己的学术论文寄往圣彼得堡．他的论文约有一半是用拉丁文在圣彼得堡发表的，另一半用法文 在柏林出版．另外，他还先后当选为伦敦皇家学会会员(1749年)、巴塞尔物理数学会会员(1753 年)及巴黎科学院院士(1755年)。
柏林时期是欧拉科学研究的鼎盛时期，其研究范围迅速扩大．他 与 J．K．达朗贝尔和丹尼尔·伯努利展开的学术竞争奠定了数学物理的基础；他与 A．克莱罗和达朗贝尔一起推进了月球和行星运动理论的研究．与此同时，欧拉详尽地阐述了刚体运动理论，创立了流体动力学的数学模型，深入地研究了光学和电磁学，以及消色差折射望远镜等许多技术问题．他写了大约 380篇(部)论著，出版了其中的 275 种．内有分析学、力学、天文学、火炮和弹道学、船舶建造和航海等方面的几部巨著，其中 1748 年出版的两卷集著作《无穷分析引论》在数学史上占有十分重要的地位。
欧拉参加了18 世纪40年代关于莱布尼茨和 C．沃尔夫的单子论的激烈辩论．欧拉在自然哲学方面接近 R．笛卡儿的机械唯物主义，他和莫佩蒂都是单子论的“劲敌”．1751 年，S． 柯尼格以耸入听闻的新论据，发表了几篇批评莫佩蒂的“最小作用原理”的文章．欧拉翌年撰文反驳，并同莫佩蒂用更浅显的语言来解释最小作用原理．除了这些哲学和科学的争论以外，对于数学的发展来说，欧拉参加了另外三场更重要的争论：与达朗贝尔关于负数对数的争论；与达朗贝尔、丹尼尔·伯努利关于求解弦振动方程的争论；与 J．多伦关于光学问题的争论。
1759年莫佩蒂去世后，欧拉在普鲁士国王的直接监督之下负责柏林科学院的工作．欧拉同腓特烈大帝之间的关系并不融洽．1763年， 当获悉腓特烈想把院长的职务授予达朗贝尔后，欧拉开始考虑离开柏林．圣彼得堡科学院立即遵照卡捷琳娜女皇旨意寄给欧拉聘书，诚挚希望他重返圣彼得堡．但是达朗贝尔拒绝长期移居柏林， 使腓特烈一度推迟就院长入选作最后的决定．“七年战争”之后，腓特烈粗暴地干涉欧拉对柏林科学院的事务管理．1765 年至 1766 年， 在财政问题上，欧拉与腓特烈之间引发了一场严重的冲突．他恳请普鲁士国王同意他离开柏林．1766 年 7 月 28 日，欧拉重返圣彼得堡， 他的三个儿子和两个女儿也回到俄国，伴于身旁。
欧拉的家安置在涅瓦河畔离圣彼得堡科学院不远的舒适之处．他的长子阿尔勃兰克这年成为科学院院士、物理学部教授，三年后又被任命为科学院的终身秘书．1766年，欧拉父子还同时当选为科学院执行委员．欧拉的工作是顺心的，然而，厄运也接二连三地向他袭来． 回到圣彼得堡不久，一场疾病使欧拉的左眼几乎完全失明．这时，他 已经不能再看书了．只能勉强看清大字体的提纲，用粉笔在石板上写很大的字母．1771 年，欧拉双目完全失明．这一年，圣彼得堡的一场特大火灾又使欧拉的住所和财产付之一炬，仅抢救出欧拉及其手稿．1773 年 11 月，欧拉夫人柯黛琳娜去世．三年后，她同父异母的妹妹 莎洛姆·葛塞尔成为欧拉的第二个妻子。
欧拉晚年遭受双目失明、火灾和丧偶的沉重打击，他仍不屈不挠地奋斗，丝毫没有减少科学活动．在他的周围，有一群主动的合作者， 包括：他的儿子阿尔勃兰克和克利斯朵夫； W．L．克拉夫特院士和 A．J．莱克塞尔院士；两位年轻的助手 N．富斯和 M．E．哥洛文．欧拉和他们一起讨论著作出版的总计划，有时简要地口述研究成果．他们则使欧拉的设想变得更加明确，有时还为欧拉的论著编纂例证．据富斯自己统计，七年内他为欧拉整理论文 250 篇，哥洛文整理了70 篇．欧拉非常尊重别人的劳动．1772 年出版的《月球运动理论和计算方法》是在阿尔勃兰克、克拉夫特和莱克塞尔的帮助下完成的，欧拉把他们的名字都印在这本书的扉页上。
重返圣彼得堡后，欧拉的著作出版得更多．他的论著几乎有一半是1765 年以后出版的．其中，包括他的三卷本《积分学原理》 和《关于物理学和哲学问题给德韶公主的信》。前者的最重要部分是在柏林完成的，后者产生于欧拉给普鲁士国王的侄女的授课内容．这本文笔优雅、通俗易懂的科学著作出版后，很快就在欧洲翻译成多种文字，畅销各国，经久不衰。欧拉是历史上著作最多的数学家。
欧拉的多产也得益于他一生非凡的记忆力和心算能力．他 70岁时还能准确地回忆起他年轻时读的荷马史诗《伊利亚特》每页的头行和末行．他能够背诵出当时数学领域的主要公式和前 100个素数的前六次幂．M．孔多塞讲述过一个例子，足以说明欧拉的心算本领：欧拉的两个学生把一个颇为复杂的收敛级数的17项相加起来，算到第 50 位数字时因相差一个单位而产生了争执．为 了确定谁正确，欧拉对整个计算过程进行心算，最后把错误找出来了．
1783 年 9 月 18 日，欧拉跟往常一样，度过了这一天的前半天． 他给孙女辅导了一节数学课，用粉笔在两块黑板上作了有关气球运动的计算，然后同莱克塞尔和富斯讨论两年前 F．W．赫歇尔发现的天王星的轨道计算．大约下午 5 时，欧拉突然脑出血，他只说了一句“我要死了”，就失去知觉。晚上11时，欧拉停上了呼吸。
欧拉逝世不久，富斯和孔多塞分别在圣彼得堡科学院和巴黎科学院的追悼会上致悼词．孔多塞在悼词的结尾耐人寻味地说：“欧拉停止了生命，也停止了计算．” 欧拉的菩作在他生前已经有多种输入了中国，其中包括著名的、 1748 年初版本的《无穷分析引论》．这些著作有一部分曾藏于北京北堂图书馆．它们是 18 世纪 40 年代由圣彼得堡科学院赠给北京耶稣会或北京南堂耶稣学院的．这也是中俄数学早期交流的一个明证．19 世纪 70 年代，清代数学家华蘅芳和英国人傅兰雅合译的《代数术》(1873)和《微积溯源》(1874)，都介绍了欧拉学说．在此前后，李善兰和伟烈亚力合译的《代数学》 (1859)、赵元益译的《光学》(1876)、黄钟骏的《畴人传四编》(1898) 等著作也记载了欧拉学说或欧拉的事迹．中国人民是很早就熟悉欧拉的．欧拉不仅属于瑞士，也属于整个文明世界．著名数学史家 A．П．尤什凯维奇说，人们可以借 B． 丰唐内尔评价莱布尼茨的话来评价欧拉，“他是乐于看 到自己提供的种子在别人的植物园里开花的人．” 在欧拉的全部科学贡献中，其数学成就占据最突出的地位．他在 力学、天文学、物理学等方面也闪现着耀眼的光芒。
数 学
欧拉是18世纪数学界的中心人物．他是继 I．牛顿之后最重要的数学家之一．在欧拉的工作中，数学紧密地和其他科学的应用、各种技术问题的应用以及公众的生活联系在一起．他常常直接为解决力学、天文学、物理学、航海学、地理学、大地测量学、流体力学、弹道学、保险业和人口统计学等问题提供数学方法．欧拉的这种面向实际的研究风格，使得人们常说：应用是欧拉研究数学的原因． 其实，欧拉对数学及其应用都十分爱好．作为一位数学家，欧拉把数学用到整个物理领域中去．他总是首先试图用数学形式表示物理问题，为解决物理问题而提出一种数学思想并系统地发展和推广这一思想．因此，欧拉在这个领域中的杰出成就作为一个整体，可以用数学语言加以系统的阐述．他酷爱抽象的数学问题，非常着迷于数论就是例子．欧拉的数学著作在其各种科学著作中所占的比重也明显地说明了这一点．现代版的《欧拉全集》72 卷中有 29 卷属于纯粹数学．
欧拉在连续和离散数学这两方面都同样有力，这是他的多方面天才的最显著的特点之一．但是，在他的数学研究中，首推第一的是分析学．这同他所处的时代，特别是当时自然科学对分析学的迫切需要有关．欧拉把由伯努利家族继承下来的莱布尼茨学派的分析学的内容进行整理，为19世纪数学的发展打下了基础．他还把微分积分法在形式上进一步发展到复数的范围，并对偏微分方程、椭圆函数论、变分法的创立和发展留下先驱的业绩．在《欧拉全集》中，有17卷属于分析学领域，他被同时代的人誉为“分析的化身”。
欧拉的计算能力，特别是他的形式计算和形式变换的高超技巧， 无与伦比．他始终不渝地探求既能简明应用于计算，又能保证计算结果足够准确的算法．只是在 19 世纪开始的“注意严密性”方面，略显不足．他没有适当地注意包含无限过程的公式的收敛性和数学存在性．欧拉还是许多新的重要概念和方法的创造者． 这些概念和方法的重要价值，有时只是在他去世一个世纪甚至更长的时间以后才被人们彻底理解．譬如，美籍华人数学家陈省身说过： “欧拉示性数是整体不变量的一个源泉．”
欧拉是在数学研究中善于用归纳法的大师．他用归纳法，也就是说，他凭观察、大胆猜测和巧妙证明得出了许多重要的发现．但他告诫人们：“我们不要轻易地把观察所发现的和仅以归纳为旁证的关于数的那样一些性质信以为真．”欧拉从不用不完全的归纳来最后证明他提出的假定是正确的．他的研究结果本质上是建立在严密的论证形 式之上的。
在数学领域内，18 世纪可以正确地称为欧拉世纪．约翰·伯努利在给欧拉的一封信中说过：“我介绍高等分析的时候，它还是个孩子， 而你正在把它带大成人．”P．S．拉普拉斯常常告诉年轻的数学家们：“读读欧拉，读读欧拉，他是我们大家的老师．”欧拉对数学发展的影响不限于那个时期．19 世纪最著名的数学家 C．F． 高斯、A．L．柯西、M．И． 罗巴切夫斯基、П．Л．切比雪夫、C．F．B．黎曼常从欧拉的工作出发开展自己的工作．高斯说过：“欧拉的工作的研究将仍旧是对于数学不同范围的最好学校，并且没有任何别的可以替代它．”人们还可以从由切比雪夫奠基的圣彼得堡数学学派追溯欧拉开辟的众多道路。
1．数论
古代希腊和中国的数学家研究过数的性质．17世纪，费马开辟了近代数论的道路．他提出了若干值得注意的算术定理，但几乎未留下任何证明．欧拉的一系列成果奠定了作为数学中一个独立分支的数论的基础．欧拉的著作有很大一部分同数的可除性理论有关．他很早就采用了同余概念．1736年，欧拉首先证明了数论中重要的费马小定理．1760
要的发现是二次互反律．它表述在1783 年的一篇论文中，但未给予证明．这个定理的叙述实际上早已包含在欧拉以前写的论文中了，只是未引起同时代人的注意．二次互反律是18 世纪数论中的最富首创精神、可能引出最多成果的发现．后来，A．M．勒让德重新发现并不完全地证明了它．高斯参考了欧拉、勒让德的著作，于1801 年发表了二次互反律的完整的证明．他把这个初等数论中至关重要的定理誉为“算术中的宝石”．二次互反律后来引起了许多数学家，如 E．E．库默尔、D．希尔伯特、E．阿廷等人对代数数域中高次互反律的研究，出现了不少意义深刻的工作． 1950 年，I．R．沙法热维奇建立了广义互反律。
欧拉还致力于丢番图分析的研究．费马重新发现了求解方程 x2 -Ay2 =1 的问题(其中，A 是整数但非平方数)，J．沃利斯 (Wallis)全部解出了这个问题．欧拉在 1732—1733 年的一篇论文中， 误称其为佩尔(Pell)方程，这个名称也就这样固定下来了．
一书中详尽地叙述了这个证明．此书两卷，最先以俄文发表于圣彼得堡， 其中，第二卷有很大篇幅是关于丢番图分析的研究。
欧拉用算术方法和代数方法研究上述问题，他还首先在数论中运用分析方法，开解析数论之先河．他利用调和级数的发散性，简单而巧妙地证明了素数个数无穷的欧几里得定理． 1737年，欧拉推出了下列著名的恒等式：
黎曼后来重新发现并建立了这个函数方程，他是第一个定义ζ函 数，也是第一个定义自变量为复值的ζ函数的科学家．19 世纪和 20 世纪，ζ函数已成为解析数论最重要的工具之一，尤其在 P．G．L． 狄利克雷、切比雪夫、黎曼、J．阿达马等人关于素数分布的研究中更是如此。
欧拉还研究了数学常数以及同超越数论有关的重要问题．J．H． 兰伯特1768 年证明 e 和π是无理数时，曾用连分数表示 e， 但连分式是欧拉首先采用并奠定理论基础的．1873 年，C．埃尔米特证明 e 是超越数．1882 年，F．林德曼应用欧拉公式 (欧拉1728年发现的)，证明了π是超越数，因此，用直尺和圆规作出一个正方形和已知圆面积相等是不可能的，从而解决了古希腊遗留下来的“化圆为方”问题。欧拉常数
的超越性的猜测，则至今尚未解决。
2．代数
17 世纪，代数是人们兴趣的一个重要中心．到了18 世纪，它变成从属于分析，人们很难把代数和分析互相区别开来．欧拉很早就把对数定义为指数，并于1728 年在其一篇未发表的手稿中引入e作为自然对数的底．1732年，欧拉对 G．卡尔达诺的三次方程解法作出了第一个完整的讨论．他还试图找到用根式表示的高于四次的方程之解的一般形式，诚然这是徒劳的．1742 年，欧拉在给尼古拉第—·伯努利和哥德巴赫的信中，第一次提出了所有实系数的 n 次多项式都可以分解为实一次或实二次因式的定理，即具有 n 个形如 a＋ bi 的根．这是和代数基本定理等价的重要命题，先后由达朗贝尔和欧拉证明．他们的证明思路不同，但都不够完全．19 世纪有了更精确的 证明．前述的欧拉《代数学入门》一书，是 16 世纪中期开始发展的代数学的一个系统总结．此书出版后，很快被译成英文、荷兰文、意 大利文、法文等多种文字，对于 19 世纪和 20 世纪代数学教科书的编写产生极大影响。
3．无穷级数
在17世纪建立微积分的同时，无穷级数也进入了数学的实践．18世纪是级数理论的形式发展时期．在欧拉的著作中，无穷级数起初主要用作解题的辅助手段，后来成为他研究的一个科目，实际知识达到了很高水平．前面提到的对著名的ζ函数的研究就是一个例子．其出发点是整数平方的倒数求和问题
欧拉大约在 1732 年发现了上述求和公式，他于1735 年给出了证明．C．马克劳林不谋而合地在几年后又独立地发现了它， 并且所用的方法稍好些，也更接近于今天所用的方法．这个公式是有限差演算的最重要的公式之一．有限差演算方法是由 B．泰勒和斯特灵奠基的．欧拉的《微分学原理》是有限差演算的第一部论著，他第一个引进 差分算子．借助于这个求和公式，1735 年，欧拉把前述的欧拉常数γ 的值计算到小数点后第 16 位
欧拉在大量地应用幂级数时，还引进了新的极其重要的傅里叶三角级数类．1744 年他在给哥德巴赫的一封信中，谈到了用三角级数表示代数函数的例子：
它发表在1755 年的《微分学原理》中．此后，他又得到了其他的展开式．1777 年，为了把一个给定函数展成在(0，π)区间上的余弦级数，欧拉又推出了傅里叶系数公式．欧拉的论文迟至 1798年才发表．他采用的正是现行通用的逐项积分方法．J．B．J．傅里叶对欧拉的工作并不了解，他于1807 年得到相同的公式．欧拉也不知克莱罗 1759 年的相应工作． 欧拉还把函数展开式引入无穷乘积以及求初等分式的和，这些成果在后来的解析函数一般理论中占有重要的地位．无穷级数、无穷乘积和连分式之间许多相互变换的方法也是欧拉发现的。
形式观点在 18 世纪无穷级数的工作中占统治地位．级数被看成是无穷的多项式，并且就当作多项式来处理，对其收敛和发散的问题是不太认真对待的．欧拉多少意识到收敛性的重要，他也看到了关于发散级数的某些困难，特别是用它们进行计算时产生的困难．为了寻求收敛的一般理论，欧拉确信且着手进行建立发散级数转变为收敛级数的法则这一艰苦的工作．为此，他对级数的和这一概念提出了新的更广泛的定义．他还提出两种求和法．这些丰富的思想，对 19 世纪末、20 世纪初发散级数理论中的两个主题，即渐近级数理论和可和性的概念产生了深远影响。
4．函数概念
18世纪中叶，分析学领域有许多新的发现，其中不少是欧拉自己的工作．它们系统地概括在欧拉的《无穷分析引论》(图1)、《微分学原理》和《积分学原理》组成的分析学三部曲中。这三部书是分析学发展的里程碑式的著作．它们至今饶有兴味，尤其《无穷分析引论》的第一卷更是如此。专家们可以从这些著作中追寻分析学许多富有成果的方法的发展足迹。
《无穷分析引论》共两卷，它是第一本沟通微积分与初等分析的书．在这部书中，欧拉第一次清晰地论述了数学分析是研究函数的科学，并对函数概念作了更加透彻的研究．他一开头，就把函数定义为由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式．在这一点 上，他继承了约翰·伯努利的思想．欧拉写道，函数间的原则区别在于组成这些函数的变量与常量的组合法不同．他在书中给出了现今还广泛应用的函数的分类．欧拉还区分了显函数与隐函数，单值函数与多值函数．他按照自己和所有同时代的人的经验，坚信所有的函数都能展成级数．欧拉认为函数的自变量不仅可以取实值，也可以是虚值， 这一见解极其重要。在欧拉、达朗贝尔和丹尼尔·伯努利等许多数学家卷入的关于弦振动问题的研究中，发生了关于函数概念的争论．它促使欧拉去推广自己的函数概念．1755 年，欧拉在《微分学原理》一书中给函数下了 一个新定义：“如果某些量这样地依赖于另一些量：当后者改变时它经受变化，那么称前者为后者的函数．”不过，在《无穷分析引论》 中，欧拉就已把函数当作对应值加以论述。
5．初等函数
《无穷分析引论》第一卷共18 章，主要研究初等函数论．其中， 第八章研究圆函数，第一次阐述了三角函数的解析理论，并且给出了棣莫弗公式
的一个推导．虽然 R．柯特斯在 1714 年发表了这个公式且与欧拉给出的略有不同，但只有欧拉才使该公式得到了广泛的应用。欧拉在《无穷分析引论》中研究了指数函数和对数函数，他给出著名的表达式
虑了正自变量的对数函数．1751 年，欧拉发表了完备的复数理论． 他断言：对正实数而言，对数只有一个实值，其余都是虚值；但对于负实数或虚数而言，对数的一切值都是虚的．欧拉对这个问题的成功解答，实际上结束了此前1747—1748 年在莱布尼茨和约翰·伯努利之间，达朗贝尔和欧拉本人之间通过信件进行的关于负数的对数的争 论．但他的工作当时并未被人们接受。
6．单复变函数
通过对初等函数的研究，达朗贝尔和欧拉在1747—1751年间先 后得到了(用现代术语表达的)复数域关于代数运算和超越运算封闭的结论。他们两人还在解析函数的一般理论方面取得了最初的进展．1752年，达朗贝尔在研究流体力学时发现了把解析函数u(x，y)＋ iv(x，y)的实部和虚部连结在一起的方程．177年，欧拉在提交圣彼得堡科学院的一篇论文中推出了同样的方程
欧拉还借助于保角映射把复变解析函数用于理论制图学等方面的研究．他在1768 年的一篇论文中，利用复变函数，设计了一种从一个平面到另一个平面的保角映射的表示方法．1775 年，他又证明球面不可能全等地映入平面．这里，他再一次用了复变函数而且讨论了相当一般的保角表示。 欧拉的这些思想，19 世纪在柯西、黎曼阐发解析函数的一般理论时，都获得了深入的发展．譬如，上述达朗贝尔和欧拉的方程就是以柯西和黎曼的名字命名的。
7．微积分学
欧拉的《微分学原理》和《积分学原理》二书对当时的微积分方法作了最详尽、最有系统的解说，他以其众多的发现丰富了无穷小分析的这两个分支． 在《微分学原理》中，欧拉详尽地研究了变量替换下的微分公式． 他在 1734 年的一篇论文中证明，若 z=f(x，y)，则
欧拉在《积分学原理》第一卷中，用相当现代的方式叙述了不定积分的方法．他创造了“欧拉代换”等许多新方法．他计算了许多困难的定积分，进一步奠定了特殊函数论的基础．例如，1729 年欧拉就研究了序列 1！，2！，…，n！，…的插值法．他引入了B函数和Γ函数，继而还发现了B函数和Γ函数的许多性质，如：
在椭圆积分理论上，欧拉的主要贡献是发现了加法定理．1770年他对二重定积分有了清楚的概念，还给出了用累次积分计算这种积分的程序． 《微分学原理》和《积分学原理》是欧拉那个时代的标准课本．他的形式化方法使微积分从几何中解放出来，从而使它建立在算术和代数的基础上．这至少为后来基于实数系统的微积分的根本论证开辟了道路。
8．微分方程
《积分学原理》还展示了欧拉在常微分方程和偏微分方程理论方面的众多发现．他和其他数学家在解决力学、物理问题的过程中创立了微分方程这门学科． 在常微分方程方面，欧拉在1743年发表的论文中，用代换 y=e kx 给出了任意阶常系数线性齐次方程的古典解法，最早引入了“通解” 和“特解”的名词．1753 年，他又发表了常系数非齐次线性方程的解法，其方法是将方程的阶数逐次降低．欧拉早在 1740 年左右就知道并且在潮汐和行星轨道摄动的著作中应用过常数变易法．他在1734 —1735年领会了积分因子的概念，提供一个方法，并在 1768—1770 年的工作中广泛地发展了积分因子法，把它应用于许多一阶微分方程类型，还推广到高阶方程．欧拉对黎卡提方程的性质多有研究．1768 年，他给出了一个从特殊积分鉴别奇解的判别法。这一年， 欧拉在其有关月球运行理论的著作中，创立了广泛用于求带有初值条 件 x=x0，y=y0的方程
的近似解的方法，次年又把它推广到二阶方程．这个现称“欧拉折线法”的方法，为19 世纪柯西关于解的存在性的严格证明和数值计算提供了重要途径． 欧拉在18 世纪30年代就开始了对偏微分方程的研究．他在这方面的最重要的工作，是关于二阶线性方程的．数学物理中的许多问题都可以归结为二阶线性方程．弦振动问题是一个著名的例子．1747 年，达朗贝尔首次建立了弦振动方程
得到形如两个任意函数之和的解：
欧拉随即对达朗贝尔的方法作了进一步研究．他在允许什么函数可以作为初始曲线，因而也可以作为偏微分方程的解的问题上，有全然不同的想法．于是，这两位数学家，还有丹尼尔·伯努利、拉格朗日、拉普拉斯和其他一些数学家，都卷进了一场旷日持久的激烈论战， 延续了半个多世纪，直到傅里叶的《热的分析理论》发表为止．其间，欧拉把特征线法发展得更加完善了．欧拉还在流体动力学和鼓膜振动、管内空气运动等问题中接触到数学物理方程．例如，位势方程
最早就出现在他 1752 年关于流体运动的论文中．1766 年，欧拉从圆膜振动问题得到后来所称的贝塞尔(Bassel)方程，并借助于贝塞尔函数 Jn(x)来求解。
9．变分法
欧拉从1728 年解决约翰·伯努利提议的测地线问题开始从事变分法的研究．1734年，他推广了最速降线问题。然后，着手寻找关于这种问题的更一般的方法．1744 年，欧拉的《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》(图 2)一书出版．这是变分学史上的里程碑，它标志着变分法作为一个新的数学分支的诞生．该书广 泛使用了几何论证。书中系统地总结了欧拉在18 世纪 30 年代和 40 年代初的一些成果，其中，包括欧拉1736年成功证明的关于使积分
以及大量应用的例子。这个以欧拉名字命名的方程，迄今仍是变分法的基本微分方程。18 世纪 50 年代中期，拉格朗日循着欧拉的思路和结果，从纯分析方法的角度，创造了应用于变分演算的新算法和新符号，得到了更完善的结果．欧拉随后放弃了自己以前的说明，并对拉格朗日的方法作了详细、清晰的解释．欧拉认为拉格朗日的方法是一种新的计算方法，并在自己的论文中正式将它命名为“变分法”。1770 年，欧拉在《积分学原理》第三卷中把变分法应用于具有常数限的二重积分的极值问题．其后不久，欧拉又提出了变分演算的另一种解释方法．他早期变分法研究中使用的直接方法，一个半世纪以后，也在寻找变分问题及相应的微分方程的精确解或近似解中获得独立的价值。
10．几何学
18世纪，坐标几何得到广泛的探讨．欧拉在《无穷分析引论》第 二卷中引入了曲线的参数表示．他从二次曲线的一般方程着手，超越同时代的人，对二次曲线理论的代数发展做出了重要贡献．他用类比法研究三次曲线，还讨论了高次平面曲线．但是，欧拉的主要贡献是第一次在相应的变换里应用欧拉角，彻底地研究了二次曲面的一般方 程． 在微分几何方面，欧拉于 1736 年首先引进了平面曲线的内在坐标概念，即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究．他将曲率描述为曲线的切线方向和一固定方向的交角相对于弧长的变化率．欧拉关于曲面测地线的研究是众所周知的．然而，更重要的是他在曲面论方面的开拓性研究．1760 年，欧拉在《关于曲面上曲线的研究》中建立了曲面的理论．这本著作是欧拉对微分几何最重要的贡献，是微分几何发展史上的里程碑．G．蒙日和其他几何学家后来的研究就是从曲面论开始的．18世纪 60 年代和 70年代，欧 拉继续研究并得到了用主曲率表示任意法截面上截线曲率的著名公式以及曲面可展性的、分析的必要充分条件。1775 年，他还成功地重新阐述了空间曲线的一般理论。
欧拉对拓扑学的研究也具有第一流的水平．1735 年，欧拉用简化 (或理想化)的表示法解决了著名的哥尼斯堡七桥游戏问题(如图 3，有 7 座桥，问是否可一次走遍，不许重复也不许遗漏．)他得到具有拓扑意义的河-桥图的判断法则，即现今网络论中的欧拉定理．1750 年， 欧拉在给哥德巴赫的一封信中列举了多面体的一些性质．其中，有一 条是：如果用 V，E 和 F 分别表示闭的凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有 V-E＋F=2．次年他给出了这条性质的一个证明．尽管 100 年 后人们发现笛卡儿早就知道这一性质，但是，第一个认识 V-E＋F 这个“交错和”重要意义的人似乎是欧拉．他之所以对这一关系感兴趣， 是要用它来作多面体的分类．欧拉示性数 V-E＋F 以及由 H．庞加莱提出的在多维复形中的推广是现代拓扑学的主要不变量之 一，陈省身言简意赅地说过：“欧拉示性数是大量几何课题的源泉和出发点．”他用图形(图 4)表示了这种关系。
力 学
欧拉在 1736 年的《力学》导言中，概述了对这门科学各个分支的巨大研究计划．与其前辈采用综合法、几何法来研究力学不同，欧拉第一个意识到把分析方法引入力学的重要性．欧拉系统而成功地将分析学用于力学的全面研究．他的《力学或运动科学的分析解说》(图 5)的书名就清楚地表达了他的这一思想．欧拉在力学的各个领域都有 突出贡献，他是刚体力学和流体力学的奠基者，弹性系统稳定性理论的创始人。
1．一般力学
《力学或运动科学的分析解说》研究质点的运动学和动力学，是用分析的方法来发展牛顿质点动力学的第一本教科书．此书共分两卷：第一卷研究质点在真空中和有阻力的介质中的自由运动；第二卷研究质点的强迫运动。欧拉的这本著作与以往的著作迥然不同，他试图通过定义和论证的结合，来证明力学是一门能一步一步推演出的许多命题的“合理的科学”。他所提供的基本概念和定律接近我们今天 所知道的力学体系．他用解析形式给出了运动方程式，并确认它们构成了整个力学的基础．因此，具有重要的历史意义。
1765 年，欧拉的著作《刚体运动理论》出版．此书与上述《力学》相互关联．欧拉得到了刚体运 动学和刚体动力学的最基本的结果，其中包括：刚体定点运动可用三个角度，即欧拉角的变化来描述；刚体定点转动时角速度变化和外力矩的关系；定点刚体在不受外力矩时的运动规律，以及自由刚体的运 动微分方程等等．欧拉先用椭圆积分解决了刚体在重力下绕固定点转 动的问题的一种可积情形，即欧拉情形．此后一个多世纪，拉格朗日于1788 年、C．B．柯瓦列夫斯卡娅于 1888 年才相继完成全部可积情况的工作，彻底解决了经典力学中的这一著名难题。
2．流体力学
欧拉根据早期积累的经验而写成的两卷集《航海学》 ，1749 年在圣彼得堡出版．其中，第一卷论述浮体平衡的一般理论，第二卷将流体力学用于船舶．该书对浮体的稳定和浮体在平衡位置附近的轻微摆动问题作了独创性的阐述．1752 年至1755 年，欧拉相继写了“流体运动原理”和另外三篇详细阐述流体力学解析理论的权威论文，即“流体平衡的一般原理”、“流体运动的一般原理”和“流体运动理论续篇．这三篇论文于 1757 年同时发表．欧拉创造性地用偏微分方程解决数学物理问题．他在这些论著中给出了流体运动的欧拉描述法，提出了理想流体模型，建立了流体运动的基本方程，即连续介质流体运动的欧拉方程，奠定了流体动力学的基础．此外，他还仔细 地研究了管内液体和气体的运动，管内空气的振动和声音的传播等许多具体问题，以及水力技术问题． 除了在一般力学、流体力学方面的上述工作外，欧拉在《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》一书的附录一中，应丹尼尔· 伯努利的请求，将变分演算应用于研究弹性理论的某些问题．这些问题，欧拉从1727年就开始研究．这个附录是第一部应用数学来研究弹性理论的著作．欧拉率先从理论上研究了细压杆的弹性稳定问题．他提出了柱的稳定概念，以及一端固定、另一端自由的柱的临界压力公式．在同书的附录二中，欧拉还与莫佩蒂几乎同时独立地得出了力学中的最小作用原理．欧拉为力学和物理学的变分原理的许多研究奠定了数学基础．这种变分原理至今仍在科研中应用。
天文学
对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉．18 世纪的数学家对天体运行规律的探索极为重视．欧拉对天文学作过大量的研究，他最出色的著作都和天体力学有关，这些论著特别吸引当时的科学家，并多次荣获英、法等国的奖金。
17 世纪，牛顿提出著名的万有引力定律，从力学原理上解释了月球运动的规律．此后，“三体问题”，特别是太阳、地球和月亮，成了18 世纪科学家十分关注的重要课题．三体问题的摄动理论最先应用于月球的运动．欧拉、克莱罗等人曾试图求得一般三体问题的精确解，终因困难至甚转而采用近似方法．1745 年，克莱罗和达朗贝尔用 万有引力定律算得月球绕地球运转的近地点的周期为18 年，而实际观察则表明它应该是 9 年．这曾使得人们从总体上对牛顿力学体系的正确性产生怀疑，甚至欧拉和其他一些科学家也认为牛顿万有引力定律需要作某些修正．1749 年，克莱罗确认：理论值和观察值之间的误差，是由于求解相应微分方程局限于第一次逼近所致．当他作第二次逼近演算后，结果是令人满意的．为此，欧拉向圣彼得堡科学院举荐克莱罗的论文，使之获得该院 1752 年奖金．不过，欧拉仍不满意并继续研究．1753 年，他的《月球运动理论》一书出版．在这部著作中， 欧拉阐述了求三体问题近似解的新颖方法，亦称“欧拉第一月球理 论”．他得到的数值结果也与牛顿万有引力理论一致． 欧拉的第一月球理论对当时的天文学和航海事业产生了很重要的影响．1755 年，哥廷根大学的天文学家 T．迈尔根据欧拉的理论制成了一张月球运行表．它对舰船导航极有价值．经过 10 年的航海实践，1765 年英国国会终于将半个世纪前悬赏的奖金授予迈尔的遗孀．同时，也奖给欧拉三百英磅奖金，以表彰他为此所作的开创性的理论工作． 1772 年，欧拉的另一本天文学著作《月球运动理论和计算方法》 在圣彼得堡出版．他在此书中详细阐述了“欧拉第二月球理论”．由于种种原因，直到19 世纪末，当 G．W．希尔发展了欧拉月球理论中关于以直角坐标为基本变量和旋转坐标系的概念，建立了一种新的月球运动理论后，人们才可能对欧拉的这种新方法的价值作出正确的评价． 欧拉一生还写了许多关于慧星和行星轨道计算的论著．1748 年，他在一篇论文中最先用参数变值法研究木星和土星运动的摄动，获得了巴黎科学院的奖金．1769—1771 年，欧拉已双目失明，他以坚强的毅力和永不懈怠的进取精神，继续研究木星和土星、地球和其他行星 的相互引力引起的摄动．“春蚕到死丝方尽”，欧拉对天文学的研究 一直延伸到其生命最后的一瞬。
物理学
18 世纪物理学的进展并不像 17 世纪前 80 年那样不寻常，它很少产生伟大的实验物理学家．欧拉作为一位物理学家，与丹尼尔·伯努利也不一样，其主要贡献是从数学的角度详尽地阐述前面已讨论过的那些类问题．欧拉所涉及的各种物理问题，当时多半与数学分析无缘． 他渴望创造一种与物理学界取得一致的数学理论．他广泛地将数学应用到整个物理领域，并在力学、声学、光学和电磁学等方面做出了许多重要贡献． 1644 年，笛卡儿曾经假定星际空间充满着物质，并且它们在很大 的漩涡中运动．这在欧洲大陆人们的思想中，直到近 18 世纪中叶时还保持着它的地位．1724 年，欧拉被授予哲学硕士学位，他发表的演讲就是对牛顿和笛卡儿的哲学思想进行比较．欧拉不是笛卡儿自然哲学体系的代表人物，但是，他更接近于这个自然哲学体系．欧拉否认空虚空间中的运动和远距离作用的可能性，他认为宇宙中充满了以太，并且用以太的力学性质来解释观察到的现象的多样性是可能的． 他还将单磁流的概念引入电磁学。
欧拉在广为流传的《关于物理学和哲学问题给德韶公主的信》中， 提出了一切物理现象都是以太与物质相互作用的结果的思想，企图建立物理世界的统一图象．这一思想对 18 世纪、19世纪物理学的发展是重要的．欧拉关于电的本质的观点是 M．法拉第和 J．C． 麦克斯韦电磁场理论的雏型．他的以太理论影响了黎曼． 欧拉在物理学方面建立的人造模型和提出的一些假设，寿命都不长．但是，他的光学著作在 18 世纪的物理学中起了重要作用．他否定权威的光粒子论，他是这个世纪提倡波动说的唯一的杰出科学家． 他认为光的起因是以太特有的振荡的结果．欧拉1746 年发表的《光和色彩的新理论》解释了一些光学现象．他同伦敦的光学仪器商多伦在色散理论上发生过争论，双方都有正误之处．1758 年，多伦创造消色差望远镜送交英国皇家学会， 轰动了整个欧洲．这是光学技术上的一个转折点．而欧拉的三大卷本 《屈光学》则奠定了光学体系的计算基础．此书第一卷论述光学原理，第二、三卷分别论述望远镜和显微镜的构造， 只是书中的数学模型超出了实验光学家的理解力．值得一提的是，欧拉 1739 年的音乐新理论也有超出音乐家理解力的地方，人们说，它对数学家“太音乐”了，而对音乐家“太数学”了．有人认为，欧拉的某些思想在现代音乐家的著作中得到了发展． 欧拉给后人留下了极其丰富的科学遗产和为科学献身的精神．历史学家把欧拉同阿基米德、牛顿、高斯并列为数学史上的“四杰”．数学家 J．R．纽曼1956 年称欧拉是“数学家 之英雄”．现在，英雄欧拉安详地躺在俄罗斯的土地上．1983 年，在欧拉逝世 200 周年之际，各国学者在列宁格勒(即圣彼得堡)、西柏林、 东柏林和莫斯科先后隆重集会纪念其丰功伟绩．而在欧拉的故乡—— 巴塞尔，则出版了各国著名科学家和科学史家研究、纪念他的巨型文集《列昂哈德·欧拉——生活事业文献集》．法国科学家 L． 巴斯德说得好：“科学没有国籍．但是科学家有祖国，他对于祖国的光荣应当尽心竭力，死而后已．热烈的爱国心会使他有勇气和毅力承担艰难而伟大的工作；而这工作，正是对人类有益的．” (在丹麦哥本哈根万国医学会上的讲话，1884)以此赞美欧拉，他是当之无愧的。
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