今天和大家聊一个非常重要,在机器学习领域也广泛使用的一个概念——矩阵的特征值与特征向量。[1]


我们先来看它的定义,定义本身很简单,假设我们有一个n阶的矩阵A以及一个实数lambda,使得我们可以找到一个非零向量x,满足:


矩阵的特征值特征向量如何求(线性代数精华矩阵的特征值与特征向量)(1)


如果能够找到的话,我们就称lambda是矩阵A的特征值,非零向量x是矩阵A的特征向量。[2]


几何意义


光从上面的式子其实我们很难看出来什么,但是我们可以结合矩阵变换的几何意义,就会明朗很多。


我们都知道,对于一个n维的向量x来说,如果我们给他乘上一个n阶的方阵A,得到Ax。从几何角度来说,是对向量x进行了一个线性变换。变换之后得到的向量y和原向量x的方向和长度都发生了改变。


但是,对于一个特定的矩阵A来说,总存在一些特定方向的向量x,使得Ax和x的方向没有发生变化,只是长度发生了变化。我们令这个长度发生的变化当做是系数lambda,那么对于这样的向量就称为是矩阵A的特征向量,lambda就是这个特征向量对应的特征值


求解过程


我们对原式来进行一个很简单的变形:


矩阵的特征值特征向量如何求(线性代数精华矩阵的特征值与特征向量)(2)


这里的I表示单位矩阵,如果把它展开的话,可以得到一个n元的齐次线性方程组。这个我们已经很熟悉了,这个齐次线性方程组要存在非零解,那么需要系数行列式


矩阵的特征值特征向量如何求(线性代数精华矩阵的特征值与特征向量)(3)


不为零,也就是系数矩阵的秩小于n。


我们将这个行列式展开:


矩阵的特征值特征向量如何求(线性代数精华矩阵的特征值与特征向量)(4)


这是一个以lambda为未知数的一元n次方程组,n次方程组在复数集内一共有n个解。我们观察上式,可以发现 lambda 只出现在正对角线上,显然,A的特征值就是方程组的解。因为n次方程组有n个复数集内的解,所以矩阵A在复数集内有n个特征值。


我们举个例子,尝试一下:


假设:


矩阵的特征值特征向量如何求(线性代数精华矩阵的特征值与特征向量)(5)


那么


矩阵的特征值特征向量如何求(线性代数精华矩阵的特征值与特征向量)(6)


我们套入求根公式可以得出使得 f(lambda) = 0 的两个根 lambda1 lambda2,有:


矩阵的特征值特征向量如何求(线性代数精华矩阵的特征值与特征向量)(7)


这个结论可以推广到所有的n都可以成立,也就是说对于一个n阶的方阵A,都可以得到:


矩阵的特征值特征向量如何求(线性代数精华矩阵的特征值与特征向量)(8)


案例


我们下面来看一个例子:


矩阵的特征值特征向量如何求(线性代数精华矩阵的特征值与特征向量)(9)

我们带入


矩阵的特征值特征向量如何求(线性代数精华矩阵的特征值与特征向量)(10)

可以得到:


矩阵的特征值特征向量如何求(线性代数精华矩阵的特征值与特征向量)(11)


矩阵的特征值特征向量如何求(线性代数精华矩阵的特征值与特征向量)(12)


矩阵的特征值特征向量如何求(线性代数精华矩阵的特征值与特征向量)(13)


使用Python求解特征值和特征向量


在我们之前的文章当中,我们就介绍过了Python在计算科学上的强大能力,这一次在特征值和特征矩阵的求解上也不例外。通过使用numpy当中的库函数,我们可以非常轻松,一行代码,完成特征值和特征向量的双重计算。


我们一起来看代码:


import numpy as np a = np.mat([[3, 1], [1, 3]]) lam, vet = np.linalg.eig(a)

np.linalg.eig 方法会返回两个值,第一个返回值是矩阵的特征值,第二个返回值是矩阵的特征向量,我们看下结果:


矩阵的特征值特征向量如何求(线性代数精华矩阵的特征值与特征向量)(14)

这里的特征向量为什么是0.707呢?因为Python自动帮我们做好了单位化,返回的向量都是单位向量,不得不说实在是太贴心了。


总结


关于矩阵的特征值和特征向量的介绍到这里就结束了,对于算法工程师而言,相比于具体怎么计算特征向量以及特征值。理解清楚它们的概念和几何意义更加重要,因为这两者在机器学习的领域当中广泛使用,在许多降维算法当中,大量使用矩阵的特征值和特征向量。


对于降维算法的原理,这里不过多赘述,我们会在以后的文章当中更新相关内容。感兴趣的同学可以小小期待一下。


文章到这里就结束了,这也是线性代数专题的最后一篇文章,短短六篇文章当然不能涵盖线性代数这门学科当中的所有知识点,但实际当中常用的内容基本上已经都包括了。


今天的文章就到这里,如果觉得有所收获,请顺手点个关注或者转发吧,你们的支持是我最大的动力。


参考资料


[1]《线性代数-第五版》: 上海交通大学出版社。

[2] 程序员的数学2: 结城浩

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