中国著名数学家吴文俊先生曾经指出:“克莱因写了一本《古今数学思想》,他把印度作为古代东方数学的代表,而忽略了中国,其他许多外国数学史书也有类似的倾向。其实,真正代表东方数学的应该是中国。”而近年来,经过国内外数学史家的工作,这一观点已逐步得到证实。

和古巴比伦、古埃及、古印度一样,中国也是人类文化的发源地之一。作为世界著名的文明古国,中国数学的的发展历史可以用八个字来概括:源远流长,成就辉煌。

数学是中国古代非常重要,同时也是最为发达的学科之一,其发展历史大概可以分为四个阶段:

第一阶段:先秦时期,中国古代数学的萌芽

早在远古时期,在文字还没有采用之时,我国就有“结绳记事”、“刻木记事”。“事大,大结其绳;事小,小结其绳,结之多少,随物众寡”,意思是说,通过绳结的大小、多少,来表示数量的多少、事情的大小和重要程度。刻木是指通过在木片、竹片、骨片上刻痕,记录数字、事件或传递信息。我国出土的新石器时期的陶器,大多为圆形或其他规则形状、有3个着地点,陶器上还有几何图案。这说明,古代的先人们已经在辨别事物的多寡中逐渐认识了“数”,并对“形”有了初步的概念。

据《史记》记载,夏禹在治水时“左准绳,右规矩,载四时,以开九州,通九道”。“规”和“矩”是中国传统的几何工具。

商代时甲骨文已发展成熟。据对河南安阳发掘的殷墟甲骨文及周代金文的考古证明,中国当时已采用了“十进位值记数法”,并有十、百、千、万等专用的大数名称。十进位制是中国对世界数学的伟大贡献,是同时代的古埃及和古巴比伦数学所不及的。大概从春秋时期起,普遍采用“算筹”这种先进的计算工具。

数学发展史的4个阶段(了解一点数学史)(1)

象牙算筹

数学发展史的4个阶段(了解一点数学史)(2)

人们丈量土地面积、测算山高谷深、计算产量多少、粟米交换、制定有有历法等,都需要数学知识。

至春秋战国时代,算术四则运算已经成熟。除了整数之外,中国古代对分数概念的认识也比较早,分数的概念及应用,在《管子》、《墨子》、《商君书》、《考工记》等春秋战国时代的书籍中都有明确的记载。据汉时燕人韩婴所撰的《韩诗外传》介绍,标志着乘除法运算法则成熟的“九九歌”在春秋时代已相当普及。

战国时期的诸子百家,和古希腊的数学学派一样,他们的著作包含了理论数学的萌芽,其中最为杰出的是“墨家”和“名家”。墨家的代表著作《墨经》记载了许多几何概念,如:“平,同高也”(指平行);“中,同长也”(指线段的中点);“寰,一中同长也”(指圆心或球心,圆周或球表面任意一点到中心的距离相等)……这些都是中国古代学者试图用形式逻辑的方法定义几何概念的明证。名家的著名代表人物惠施曾提出:“至大无外谓之大一,至小无内谓之小一”。这里的“大一”、“小一”是无穷大和无穷小的意思,是名家对“无穷”概念的深刻认识。这些都是世界数学史早期最光辉的数学思想之一。

第二阶段:汉唐时期,中国古典数学体系的形成

从汉代开始,中国的经济文化有了进一步的发展,经济的繁荣给科学的进步提供了物质基础,数学也有了长足的发展。

《周髀算经》大概成书于西汉时期(公元前2世纪),原书名为《周髀》,本是一部天文学著作,但其中包含了深刻的数学内容,如:分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用。

《周髀》一书的卷首,记述了一段周公与商高的对话:“昔者周公问于商高曰:……昔者包牺立周天历度,夫天可不阶而升,地不可得尺寸而度,请问数安从出?”商高曰:“数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一。故折矩,以为勾广三,股修四,径隅五……故禹之所以治天下者,此数之所生也。”这里叙述了勾股定理的一个特例,是我国有关勾股定理的最早记录。

《九章算术》的成书,标志着我国古典数学理论体系的形成。该书是西汉时期由国家组织力量编纂,由丞相张苍、天文学家耿寿昌收集秦火遗残整理修订而成。全书采用问题集的形式,共有246个应用题,内容丰富且密切联系实际。每道题都有问有答有术,其中“术”通常是解题的思想方法、公式和法则,有的一题一术,有的多题一术,有的一题多术。九章内容如下:

第一章:方田,主要论述各种平面图形的地亩面积算法及分数的运算法则;第二章:粟米,论述了20多种粮食及其成品如稻、米、麦、面、饭等之间的兑换比例及四项比例算法(当时称“今有术”);第三章:衰分,主要论述配分比例算法,其中问题多与商业、手工业、及社会制度有关;第四章:少广,主要成就包括开平方、开立方的算法;第五章:商功,论述各种立体图形的体积算法,包括柱、锥、台、球体等,涉及筑城、修堤、开渠、粮垛等施工方面的计算问题;第六章:均输,论述较为复杂的配分比例问题,其中的“均输术”反映了当时的“均输制”税赋徭役,类似于条件极值问题;第七章:盈不足,论述盈亏问题的解法;第八章:方程,主要研究线性方程的解法,基本思想是消元;第九章:勾股,讨论有关勾股问题的解法,及简单的勾股测量。《九章算术》注重实际问题和长于计算的特点,对中国古典数学的发展有着极其深刻的影响

《九章算术》的以下数学成就,处于世界领先地位:(1)分数运算系统遥遥领先于世界各国,欧洲直到16、17世纪才有人总结出分数四则运算法则;(2)求最大公约数的“更相减损术”,与西方的”欧几里得算法”完全相同;(3)“今有术”相当于文艺复兴时期被欧洲人誉为“黄金法则”的印度“三率法”;(4)开平方和开立方法,一直到15世纪阿拉伯数学家阿尔·卡西才提出开方的完整步骤,而欧洲则更迟;(5)“盈不足”术,中世纪时期的欧洲人视为算术问题的万能解法;(6)负数概念及有理数运算法则,印度人在600年以后才承认负数,而欧洲人则要到1500年以后;(7)求解线性方程的消元法,在国外被称为“高斯消去法”,直到19世纪才由“数学王子”高斯给出;(8)几何体体积的求法等。

《九章算术》问世以后,我国的数学著述基本上沿着两条路走:一条是给《九章算术》作注;一条是以《九章算术》为楷模编纂新的著作。魏晋时期,著名数学家刘徽于263年作《九章算术注》,全面论证了《九章算术》的公式、解法,发展了出入相补原理、截面积原理、齐同原理和率的概念,首创了求圆周率的正确方法(即著名的“割圆术”),指出并纠正了《九章算术》的某些不精确之处或错误的公式,探索出解决球体积的正确途径,创造了解线性方程组的互乘相消法与方程新术。数学史界有一个普遍的观点是:如果离开了刘徽的《九章算术注》去研究《九章算术》,则很难深入理解《九章算术》的精髓。

魏晋时期是中国古代学术研究继春秋战国之后的又一个繁荣时期,当时思想界有“清谈”、“析理”之风,与此相应,当时的数学家们重视理论研究,数学著作较多。刘徽作《九章算术注》、《海岛算经》;赵爽给《周髀》作注;祖冲之继承刘徽的思想,将圆周率精确推算到3.1415926,并著《缀术》;祖冲之的儿子祖暅,发现总结出“祖暅原理”。这些成就使中国古典数学在理论方面达到了一个新的高度。

历史上著名的“算经十书”,是指由唐朝数学家李淳风等人审定、注释的十部数学著作:《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《夏侯阳算经》、《缀术》、《缉古算经》。

第三阶段:宋元时期,中国古典数学的兴盛

宋代结束了五代十国的封建割据动乱局面,社会较稳定,经济较繁荣,极大地推动了科学文化技术的发展。宋元时期一个显著的特点是:数学家及其数学著作的大批出现。据不完全统计,著名的数学家有数十人,有记载的数学专著百余种,远远超出了之前各个时期。

宋元时期,数学研究的内容也有显著变化,是以代数为中心。高次方程的数值解法、线性方程组的解法、高阶等差数列、组合数学、半符号代数、数论范畴的同余式组的解法等,都达到了当时世界的最高水平。

贾宪是北宋数学家,他创造了“增乘开方法”,1050年前后著《黄帝九章算经细草》。贾宪的著作虽已失传,但其主要内容被南宋时期的数学家、数学教育家杨辉摘录在他自己的著作《详解九章算法》中。贾宪的“增乘开方法”已经可以用于解高次方程,但他本人仅用它来处理开方问题。将“增乘开方法”推广到高次方程一般情况的是南宋时期的数学家秦九韶,《数书九章》是其代表著作。秦九韶的一项巨大功绩是:建立了较为系统的解决一次同余式(组)的数学理论(“大衍术”)。在西方,直到18世纪,经欧拉、拉格朗日和高斯三代巨匠前后60多年的努力,才比较系统的建立起一次同余式的理论,这在当时的数学界引起了很大的轰动,当时居世界数学中心地位的彼得堡科学院、柏林科学院等竞相刊登这些成果,以示祝贺。然而他们并不知道,早在500年前的东方中国,相应的成果就已经灿烂夺目了。当然,西方数学家做出了更为细致的讨论和严格地证明,这是他们的进步。1852年,英国人伟烈亚力首次向西方介绍了秦九韶的“大衍术”,德国人马蒂生从1876年开始发表了一系列论著,高度评价秦九韶的“大衍术”,指出它与高斯定理是等价的。1957年,玛赫勒发表“中国剩余定理”的论文,首次提出用中国来命名这一伟大的数学成就,以表彰中国数学家们做出的杰出贡献,这一命名很快风行全球并被教科书采纳。

“天元术”是我国数学的又一项杰出创造,指的是利用未知数列方程的一般方法。数学家李冶(1192-1279)的著作《测圆海镜》和《益古演段》,系统的研究和介绍了“天元术”。元代杰出的数学家、数学教育家朱世杰,推广了天元术,提出用“四元术”来解四元方程,这可以说是中国筹算代数学的顶峰。朱世杰的数学专著《四元玉鉴》,主要是对多元高次方程的研究。四元术中的“相消法”,是中国数学史上一项杰出的成就,西方这方面的成就比朱世杰晚了近500年。因此,美国科学史家称朱世杰是“贯穿古今的一位最杰出的数学家”。

沈括(1031-1095)是一位博学多才的科学家,他出生于名门望族,在北宋朝廷做过官,晚年著《梦溪笔谈》,被李约瑟誉为“中国科学史的里程碑”。《梦溪笔谈》在数学方面的主要成就有:提出了高阶等差数列求和的“隙积术”;由圆的直径和高计算弓形弧长的“会圆术”;计算棋局总数的“棋局都数”。

第四阶段:明清时期,中国古典数学的衰落

从明代起,中国封建社会开始衰落,资本主义因素开始萌芽。封建统治阶级为了维护其统治地位,规定科举必须采用“八股”文体,使得大批的知识分子“皓首穷经”,而鄙夷天文、数学等为“奇技淫巧”。经历宋元高峰时期,中国的古典数学理论已经发展到了一定的高度,另一方面,实际的生产力水平相对比较低下,这就导致了一种脱节的状况。由于多方面的原因,中国古典数学在明朝开始走向衰落。

虽然数学理论的发展衰落停滞了,但商业数学异军突起,有了很大的进步,比如:珠算。自宋代提出了改革筹算,到元明之际,珠算盘作为数学计算工具,其应用日益广泛。至明代中叶,珠算已在全国普及,彻底完成了筹算到珠算的转变。珠算盘携带方便,拨动自如,并且有口诀相配合,计算迅速准确,是当时世界上最好的计算工具。

明末清初,西方数学开始传入我国。1582年,意大利传教士利玛窦来到中国。1606年,由利玛窦口授,徐光启笔述,翻译了《几何原本》的前六卷,这是我国翻译西方数学书籍的开始。

西方数学知识的传入,给衰落的中国数学带来了刺激,之后中国的数学研究出现了两个倾向:一是对西方传入的数学进行整理、加工、消化和吸收;二是重新钻研整理中国的传统数学。这期间,也出现了一些了不起的数学家。清朝数学家梅文鼎(1633-1721)编撰了《梅氏历算全书》,对中国数学的发展起到了承前启后的作用。与梅文鼎同时代的王锡,著有《圜解》,是中国最早的三角学著作之一。年希尧所著《视学》,是有关透视学和画法几何的著作,比号称“画法几何之父”的法国数学家蒙日的《画法几何学》(1799)早70年。

1840年鸦片战争后,李善兰、华蘅芳等人在翻译介绍西方数学方面做出了杰出贡献。20世纪初,中国沦为半殖民地半封建社会,中国数学与西方融合发展,走向了世界化的道路。

略述中国数学教育

我国古代数学教育历史悠久,是世界上最早进行数学教育的国家这一。《礼记·内则》记载:“六年教之数与方名……九年教之数日,十年出外就傅,居宿于外,学书记”,意思是说,六岁的时候,教给孩子识数和辨认方向……九岁的时候,教给孩子怎样计算日期……《周礼》中记载的小学教学内容为六艺:礼、乐、射、御、书、数,其中“数”指的是九数,即后来的《九章算术》中的一些基本内容。将数学教育写入国家典制,这在世界历史上也是罕见。

西汉《九章算术》问世后,即成为基本的、最重要的教材之一。

隋统一全国后,创立了科举制度,建立了全国最高学府国子寺,并在国子寺里设立了“明算学”。明算学内设算学博士两人、算学助教两人,从事数学教学工作。明算学是专门的教育机构,这在我国数学教育史上具有里程碑意义。唐代时,最高学府国子监里设有“明算科”,为了满足教学的需要,由当时的数学家李淳风等人审定并注释了十部数学著作做教材,即“算经十书”。明算科规定学制为7年,学习期满后要参加考试,对学习内容、考试内容、录用规则都有明确规定,已经形成了一套比较完善的数学教育制度。后来我国的数学和教育制度还传入朝鲜、日本等邻国,他们的数学教育和教科书基本上是采用我国的。

宋元时期,官办的数学教育有所衰落,民间的数学教育比较盛行。当时许多有名的数学家,如杨辉、李冶、朱世杰、郭守敬等,或设馆招徒,或云游四方讲授数学。有的还自编自著数学教材,如杨辉的《习算纲目》,朱世杰的《算学启蒙》。这些都推动了数学教育的发展。

明清时期的“西学东渐”,翻译过来的《几何原本》对我国中小学教育产生了很大影响。清末开始兴起新式学堂,数学教材大多采用李善兰、华衡芳的译作。民国、新中国成立前,也有些学校直接采用西方和欧美的教材。

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