(三)不等式组没有整数解
回顾:关于不等式的解与非解具有如下结论:
(1)不等式的解:如果x=m是不等式ax>b(或ax<b)的解,则am>b(或am<b).
(2)非不等式的解:如果x=m不是不等式ax>b(或ax<b)的解,则x=m是不等式ax≤b(或ax≥b)的解,从而am≤b(或am≥b).
例如(前面的练习):已知关于x的不等式2(x 3)<x-m的最大整数解为x=0,求m的取值范围.
解:依题意,得:x=0是不等式的解,但x=1不是它的解.根据不等式解与非解的结论(1)、(2),得:
所以m的取值范围是-1≤m<0.
评注:如果不等式的最大整数解是x=n,则x=n 1不是该不等式的解.
我们知道,任何一元一次不等式都有整数解,而且有无数多个整数解,但对于一元一次不等式组就不一定有整数解了。如何确定字母系数的取值范围,使得不等式组没有整数解呢?
题:已知关于x的不等式组
没有整数解,求k的取值范围.
解析:不等式组的整数解取决于x>0和3x 1<2k的解,而x>0的整数解有无数多个,其中最小的整数解是x=1;要让不等式组没有整数解,只要x=1不是不等式3x 1<2k的解就可以了。根据不等式非解的意义(即结论(2)),得:
3×1 1≥2k,解之,得k≤2,
所以k的取值范围是k≤2.
评注:解集为n<x<m(n为常数且n为整数)的不等式组如果没有整数解,则x=n 1不是不等式x<m的解.
练习3 如果关于x的不等式组
没有整数解,求k的取值范围.
,