四、多期的终值和现值
假设投资者购买了金山公司首次公开发售时的股票。该公司的分红为每股1.10元,并预计能在未来5年中以每年40%的速度增长。5年后的股利为多少?
解析：
FV=PV x (1 r)T=1. 10x (1 40%) 5=5.92 (元)
我们发现,第5年的股利5.92元远高于第一年股利与5年中的股利增长之和:
5.92元>1. 10 5x [1. 10×0. 40] =3.30 (元)
其原因就是复利计算而产生的利滚利的结果。
因此，计算多期的终值公式为：
FV = PV x（1 r）T
计算多期的现值公式为:
PV=FV/（1 r）T
其中, PV是第0期的现值, r是利率, T是投资时间区间, FV是第T期的终值。(1 r)T是终值利率因子, 1/ (1 r)T为现值利率因子。
现值计算是终值的逆运算。简单地说,终值计算是将现在一笔钱,计算为未来某一时刻的本利和。而现值计算,则是将来一笔钱相当于现在多少钱的计算方式。这是货币时间价值计算中最基本也是最重要的换算关系。
随着期限T的增长,现值利率因子1/ (1 r)T将减小,即同样一笔钱,离现在越远,现值越小;随着利率r的提高,现值利率因子1/(1 r)T将减小,即同样一笔钱,贴现率越大,现值越小。反之,随着期限T的增长,终值利率因子(1 r)T 将增大。即同样一笔钱,离现在越远,终值越大;同时随着利率r的提高,终值利率因子(1 r)T将增大,即同样一笔钱,利率越大,终值越大。
五、复利和单利的区别
单利只计算本金在投资期限内的利息,而不计算利息的利息。复利则是在每经过一个计息期后,都要将利息加入本金,以计算下期的利息,即以利生利,也就是俗称的“利滚利”。
假设年利率为12%,今天投入5000元, 6年后你将获得多少钱?用单利计算是怎样的?用复利计算是怎样的?
解析 用单利计算: 5 000 (12%×5 000× 6) =8 600 (元)
用复利计算: 5 000× (1 12%) 6=5 000× 1. 9738227=9 869. 11 (元)
复利和单利计算之间的差异即为: 9 869. 11-8 600=1 269.11 (元)
可以看出,复利和单利计息方式的不同,对终值和现值的计算结果有巨大影响。而且时间越长,差别越大。
假如投资者甲买赢得100万元,将其存入10年的定期存款,年利率为6%,按复利计算。或者他将其交于表兄打理,10年中,每年按6%的单利计算。10年后,哪种方式获利多?
解析 定期存款的终值是1 000 000× (1 6%)10=1 790 847.70 (元)
从表兄那里获得的值1000000 1000000×6% ×10=1 6000 00 (元)
复利(利滚利)引起的是将近191 000元的资产增值。
六、不同利率和不同期限下的现值变化
假如你现在21岁,每年能获得10%的收益,要想在65岁时成为百万富翁,今天你要一次性拿出多少钱来投资?
解析 确定变量: FV=100万元, r=10%, T=65-21=44年。
代入终值算式中并求解现值: 1 000 000=PV X ( 1 10%) 44
PV =1 000 000 /(1 10%)44 =15 091 (元)
这个例子再一次告诉我们,时间的长短和复利的计息方式对资本增值的巨大影响。对财务规划来说,计划开始得越早,所需要的投入就越少。
七、72法则
根据经验,如果年利率为r,你的投资将在大约72/r年后翻一番。这一经验公式被称为72法则。
如果年收益率为6%,你的投资将于约12年后翻番(即72/6=12)。应该注意的是,这个法则得到的只是一个近似的结果。如果利率过高或过低,该法则不再适用。
例如,假设现在拿1元做投资,当r=72%时,按照72法则,投资将会在72/72即1年之后翻一番,而实际上1年之后的本利和为(1 72%)1=1. 72,投资并没有翻一番;当r=36%时,按照72法则,投资资金将会在72/36即2年之后翻一番,而实际上2年之后的本利和为(1 36%)2=1.8496,与2倍的误差也较大。
可见,该法则只是一个近似估计。一般来说,利率在6%~12%的范围内,使用72法则比较准确。
现值为5000元的一项投资,如果10年后的终值为10 000元,该投资的收益率为多少?
解析 按72法则,这项投资相当于10年翻了一倍,因此,年利率应该大约为72/10=7.2%。
