微分方程要求出全部解吗(解微分方程为什么会出现个e)(1)

Q:

解微分方程为什么会出现个e?

比如一解线性的情况 今天突然想起 是不是因为x加1分之一的极限是e 但为什么是e呢。好突兀啊

A:

你搞不懂的原因就是------你懂的太多了...

想象你生活在那个微积分初创的年代,你还不知道什么通解公式之类的玩意儿,自然常数 e 还未曾知晓...

你是一个站在时代前沿的数学家,你想知道微分方程:

微分方程要求出全部解吗(解微分方程为什么会出现个e)(2)

的解.

你觉得可以有一个性质良好的函数作为解,比如在

微分方程要求出全部解吗(解微分方程为什么会出现个e)(3)

上解析...

于是你可以在原点将这个函数展开:

微分方程要求出全部解吗(解微分方程为什么会出现个e)(4)

因为

微分方程要求出全部解吗(解微分方程为什么会出现个e)(5)

上解析嘛,所以

微分方程要求出全部解吗(解微分方程为什么会出现个e)(6)

上光滑,求导得:

微分方程要求出全部解吗(解微分方程为什么会出现个e)(7)

然后代入得:

微分方程要求出全部解吗(解微分方程为什么会出现个e)(8)

要使得等式恒成立,所有项数都应该是 0

微分方程要求出全部解吗(解微分方程为什么会出现个e)(9)

上面一个递推式直接迭代可以解得:

微分方程要求出全部解吗(解微分方程为什么会出现个e)(10)

也就是说解可以写成:

微分方程要求出全部解吗(解微分方程为什么会出现个e)(11)

的形式...

后来发现每次都要写这么一坨级数太烦了,经过研究发现定义

微分方程要求出全部解吗(解微分方程为什么会出现个e)(12)

能减少很多麻烦.

然后进一步定义欧拉数

微分方程要求出全部解吗(解微分方程为什么会出现个e)(13)

这个函数性质很好,可以把加法变乘法:

微分方程要求出全部解吗(解微分方程为什么会出现个e)(14)

>>级数绝对收敛时算符可以交换

微分方程要求出全部解吗(解微分方程为什么会出现个e)(15)

人们知道有这种性质的可以叫指数函数,于是,最后定义自然指数函数为

微分方程要求出全部解吗(解微分方程为什么会出现个e)(16)

所以不是为什么出现了个 e,出现的是

微分方程要求出全部解吗(解微分方程为什么会出现个e)(17)

至于

微分方程要求出全部解吗(解微分方程为什么会出现个e)(18)

为什么会出现,楼上说的很明白了.

因此指数函数是求导算子的特征函数------算子作用于函数后的不变量,

微分方程要求出全部解吗(解微分方程为什么会出现个e)(19)

求导仍是本身.

这个和线性代数里矩阵与特征值是相似的...

特征值是矩阵变换后的基,特征函数也是算子变换后的基...

至于基为什么这样...唉...捉鸡啊...这可以另开一个问题了...


再举一个例子,把傅里叶变换看成一个算子,其特征函数(之一)为

微分方程要求出全部解吗(解微分方程为什么会出现个e)(20)

所以傅里叶变换里这个东西经常出现...

没有也正常,因为傅里叶变换的特征函数可以长得很不一样,比如

微分方程要求出全部解吗(解微分方程为什么会出现个e)(21)

微分方程要求出全部解吗(解微分方程为什么会出现个e)(22)

这俩也是.

“超级数学建模”(微信号supermodeling),每天学一点小知识,轻松了解各种思维,做个好玩的理性派。60万数学精英都在关注!

,