作者：M.Krizek，A.Solcova，L.Somer
来源：数立方(mathcubic.org)，原载于《数学文化》2010年第一卷第二期
一、引言
图1. 布拉格旧城区中心地图
欢迎来到捷克共和国的首都——布拉格。这个中欧城市不但拥有“千塔之城”的美誉，而且更被联合国教科文组织列入世界文化遗产。不少举世闻名的数学家、物理学家和天文学家都在这片土地上度过光辉的岁月，留下许许多多永不磨灭的历史印记。其中的代表人物包括文艺复兴时期的意大利哲学家乔尔达诺·布鲁诺(Giordano Bruno)、丹麦天文学家第谷·布拉赫(Tycho Brahe)、其助手德国天文学家约翰尼斯·开普勒(Johannes Kepler)、波希米亚数学家伯纳德·波尔查诺(Bernard Bolzano)、法国数学家奥古斯汀·柯西(August Cauchy)、挪威数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔(Niels Henrik Abel)、奥地利数学及物理学家克里斯提昂·多普勒(Christian Doppler)、奥地利物理学及哲学家恩斯特·马赫(Ernst Mach)、相对论创立人德国理论物理学家阿尔伯特·爱因斯坦(Albert Einstein)和他的大学同僚乔治·皮克(Georg Pick)，而皮克是教授爱因斯坦张量微积分的数学家之一。上述科学家在布拉格生活期间，建立了几个对后世影响深远的数学和物理学理论，并且从事相关之研究工作。十七世纪初，开普勒根据第谷·布拉赫的观测结果，提出行星运动三大定律之第一、第二定律。十九世纪上半叶，波尔查诺给出了一个既有分形特征，又不可微分的连续函数，并且以无限数集(infinite sets)为题撰写了《无穷的诡论》(Paradoxes of Infinity,1851)。1842年，布拉格理工大学数学教授多普勒在布拉格Ovocný trh(图1)的查理大学，首次就其创立的效应(后来称为“多普勒效应”)发表公开演讲。1911年至1912年，爱因斯坦在布拉格德国大学(Prague German University)担任理论物理学教授，醉心于广义相对论的研究工作。甚至著名捷克作家卡雷尔·恰佩克(Karel Capek)也是在布拉格发明“robot”这个字(捷克语Robota，意谓劳役、苦工)。本文后面会简单介绍这些与布拉格息息相关的伟人纪念碑和雕塑。接下来，本文集中讨论布拉格旧城广场中心的一个著名建筑物，分析其中有趣的数学问题。
图2. 旧城广场天文钟的位置
布拉格旧城区中心(图1-2)有一个古色古香的天文钟(捷克语orloj，英语horologe)。无论是一般游客，或是热爱数学的人，都会慕名而来一睹这个举世稀有的珍品。本文将揭示天文钟与三角形数之间鲜为人知的关系，探讨三角形数的特性，以及这些特性如何提升大钟的准确度。
布拉格天文钟的数学模型设计来自简·安卓亚(Joannes Andreae，捷克语Jan Ondrejuv，生于1375年，卒于1456年)。安卓亚又名辛蒂尔(Šindel)，在国王查理四世于1348年所创办的布拉格大学任教。1410年，辛蒂尔当上大学院长，天文钟的设计意念终于通过卡丹市(Kadaň)的钟匠密库拉斯(捷克语Mikulás，即英语Nicholas)得以实现。
布拉格天文钟设于旧城市政厅一座约六十米高的钟楼内，而两个大钟盘(图3)则镶嵌在钟楼南面的外墙上。六百年来，天文钟经历过几次大型翻新，其中一次约在1490年，由克伦洛夫城(Ruze)的钟表工匠简恩(Jan，又名哈劳斯大师Master Hanus)带领进行。天文钟下钟盘的左方特别设置一面纪念碑，用来表彰这些钟匠们的付出和贡献。
图3. 布拉格天文钟的两个钟盘
天文钟的上钟盘是一个靠发条机制控制而运作的星盘，象征天球(celestial sphere)由其北极通过南极落在切平面上的球极平面投影(stereographic projection)。钟盘的中心点相当于天球的南极，南极四周的最小内圆代表南回归线，而外圆则代表北回归线，两者之间的同心圆相当于天球赤道(图4)。
图4. 天文钟的上钟盘
球极平面投影有一基本性质(由古希腊天文学家托勒密Ptolemy提出)：
球体上所有异于北极的圆，经过球极平面投影法，在平面上的投影也是一个圆。
因此，天球黄道的投影也是圆形，用刻有十二星座图案的镀金钟圈表示。虽然天球黄道的中心点并不是南极点，但是镀金钟圈却神奇地绕着南极点转动(如图4所示)。此外，天文钟也指出了太阳在黄道上的大概位置、月球的运动和月相，以及日、月和十二星座各自的出、落和中天时间。
镀金太阳指针在罗马数字钟圈上转动，显示的是中欧时间(Central European Time，简称CET)，值得留意的是，中欧时间和原来的布拉格当地时间相差只有138秒。旁边那枝镀金星星指针所显示的是恒星时(sidereal time)。最外那个钟圈上有金制的阿拉伯数字1至24，标示从日落起计算的古捷克时间；而下方黑色的阿拉伯数字1至12，是用来标示早在巴比伦时代已经开始使用的行星时间(planetary hours)。行星时间则由日出开始算起，与古捷克时间的计算方法相反。
钟盘下方的黑色圆形部分代表天文曙暮光(astronomical night)，即太阳处于地平线下18度的时段；外围的棕色部分象征黎明和黄昏(AVRORA和CREPVSCVLV标志着白昼和夜晚)，而ORTVS和OCCASVS则代表日出和日落。
图5. 主钟的详图
(后面那三个同心大齿轮十五世纪初开始运作)
天文钟的主装置有三个同心大齿轮，每个直径为116厘米，最初由三个各有24齿的小齿轮驱动。第一个大齿轮有365齿，每个恒星日(即23小时56分4秒)推动星座钟圈转一周。第二个大齿轮有366齿，每一平太阳日(mean sun day)推动太阳指针转动一圈。由于地球环绕太阳的的公转轨道是椭圆形而非圆形，因此太阳在天球上的运动速度不均一。现时，星座钟圈的位置每年要经人手调校两次。第三个大齿轮有379齿，推动月亮指针根据月球的视运动(mean apparent motion)而转动。因为月球轨道同样是椭圆形，所以月亮指针也需要不时以人手校准。月亮指针(图4)其实是个空心球体，内藏机关，可展示月相。这个指针设计于十七世纪，转动的动力来自椭圆环圈的运动。
下面的钟盘是个月历钟，上面有十二幅由马内斯(Josef Mánes)绘画的饼图画，每一年转一周，最上的钟针标示一年中的某一日，同时亦提供取名日(name days)等信息。
二、布拉格天文钟隐藏着怎样的数学原理？
下述例子诠释了十五世纪钟表工匠的精湛技术。天文钟的机械组件里，有一个大齿轮，它的圆周上有24道齿槽，齿槽间的距离随圆周逐渐递增(图6-7)。这个装置使大钟每天重复地按时敲打一至二十四下。与大齿轮连着一个辅助齿轮有六道齿槽，齿轮圆周按照“1，2，3，4，3，2”的比例分成六段。这几个数字合起来构成了一个循环周期，令齿轮不断地重复转动。这六个数字的和是15。
图6
每到整点，扣子便会升起，大小齿轮便会运转。耶稣十二门徒的小木偶会通过钟面两侧的小窗口列队绕行一圈，然后钟声徐徐响起。待扣子回落在齿槽时，两个齿轮就会停止转动。大钟每天敲打的次数是1 2 ... 24=300下。由于300能被15整除，所以小齿轮每天同一时间的位置都是不变的。
大齿轮有120个内齿，啮合在一个针齿轮之中，针齿轮有六支围住小齿轮轴心的水平小横杆。大齿轮一天转一圈，而小齿轮则以高四倍左右的圆周速度一天转二十圈。这么一来，就算大齿轮出现磨损的情况，小齿轮都可以保持天文钟按刻报时的准确度。与此同时，小齿轮能够有效地使大钟在每天凌晨一时，只敲打一次。从(图7)所见，大齿轮的第一、二个齿槽之间并没有轮齿，即便有，也会因为太小而容易断开，所以，扣子只能够接触到小齿轮弧长为一的轮齿。
Fig7.天文钟详图中小齿轮的位置
图中的扣子卡在大齿轮的十八时与十九时之间的齿距上
从文献[2]得知，上述的数列能够不断被建构出来，直至无限大。可是，并不是所有周期数列都拥有如此巧妙的总和特性。例如，我们可以很快便知道1，2，3，4，5，4，3，2不可用，因为6＜4 3；而1，2，3，2也不可用，因为2 1＜4＜2 1 2。
布拉格天文钟很可能是世上现存少数装有(图6)零件的大钟当中最古老的一个(文献[1]，76页)。正因上述完美的总和特性，美国数学家斯洛恩(Sloane，参考书目[3]及[4，A028355，A028356]的作者)把1，2，3，4，3，2，1，2，3，4……称为时钟数列(clock sequence)。
三、三角形数与周期数列的关系
本节简洁地论述三角形数
与天文钟的关系，并找出所有跟时钟数列1，2，3，4，3，2拥有相同特性的周期数列，亦即可应用在小齿轮构造的周期数列。设 N={1,2,⋯}。
若对任意正整数 k，存在一个正整数 n 使得
成立，那么该周期数列 ｛ai｝ 会被称为辛蒂尔(Šindel)数列，其中等号左边的三角形数 Tk等于大齿轮所有时刻的总和 1 2 ⋯ k，而右边数字的总和则表示小齿轮相应的转动圈数(图8)。我们在参考资料[2]证明了，上述条件可被一个弱得多的条件所取代，只需要有限个 k，那就是，序列a1,a2,…,ap,a1,a2,…的周期长为 p，若存在正整数 n，使等式(1)对k=1,2,⋯,a1 a2 ⋯ ap−1成立，那么该数列就是辛蒂尔数列。这样便可在有限的运算次数中，检查某一周期 a1,⋯,ap能否得出辛蒂尔数列。文献[2]也提供了查找辛蒂尔数列的显式算法。
图8. 每行上面的数代表了小齿轮的小节的长度；而下面的数表示第k个小时大钟敲打的次数。
四、其它具有数学及科学意义的名胜
图9. 爱因斯坦纪念牌
离天文钟几米远的地方，竖立着一个爱因斯坦纪念牌，纪念他在1911年至1912年间，在旧城广场十七号暂住的岁月(见图9)。纪念牌旁边的哥德式教堂泰恩(Týn)，安放了建于1601年的第谷·布拉赫的墓冢，供游人参观。沿旧城广场向前走，一直到契里特纳大街(Celetná Street)25号，就会看见波尔查诺纪念碑(图10)。旧城广场附近还有其它科学家的纪念碑及半身塑像，同样也值得参观。这些人物包括爱因斯坦(Vinicná7号、Lesnická7号)、多普勒(查理广场20号、Obecnlhodvora7号；图11)、开普勒(查理大街4号、Ovocnytrh12/573号)，以及位于Parlerova街2号的开普勒和布拉赫的大型雕像(图12)等。
图10. 波尔查诺纪念碑
图11. 多普勒纪念碑
图12. 开普勒与布拉赫的大型雕塑
作为旅游热点，布拉格拥有不同历史风格的建筑物，罗马式、哥德式、文艺复兴、巴洛克等建筑在市内比比皆是，因此被誉为最美、最浪漫的中欧城市之一。宏伟的布拉格城堡、艺术家和巴洛克雕塑处处可见的查理大桥(Charles Bridge)，还有泥巴妖怪勾勒姆(Golem)传说的发源地——犹太区(Jewish Town)。相传勾勒姆是由德高望重的犹太教师罗乌(Rabbi Loew)在十六世纪末左右制造，用来帮助当时居住在布拉格的犹太人对抗迫害。此外，布拉格也是欧洲的文化重镇，拥有浓厚的音乐传统，历史上曾有多部著名作品在此公演。1787年10月29日，享负盛名的莫扎特歌剧《唐璜》在查理大学附近的艾斯特歌剧院(Estate Theatre)首度公演。总括来说，不管你对数学是否感兴趣，布拉格都会给你带来无穷乐趣。
鸣谢
本论文由捷克科学院的院校研究计划（编号AV0Z10190503）及研究基金（编号IAA100190803）资助。感谢JakubŠolc先生提供图像技术支持。
参考文献
[1] Z. Horský: The astronomical clock of Prague, Panorama, Prague, 1988.
[2] M. Křížek, A. Šolcová, L. Somer: Construction of Šindel sequences, Comment. Math. Univ. Carolin. 48 (2007), 373–388.
[3] N. J. A. Sloane: My favorite integer sequences, arXiv:math.C0/0207175v1, 2002, 1–28.
[4] N. J. A. Sloane: The on-line encyclopedia of integer sequences, 2007, published electronically at http://www.research.att.com/~njas/sequences/
作者简介
Michal Krizek，捷克科学院数学研究所高级研究员，布拉格查理大学数学及物理学院教授。曾经多次访问中国，包括北京、天津、香港、湘潭等地。研究兴趣广泛，包括纯数学、计算数学和数学史。
Alena Solcova，捷克理工大学信息技术学院计算机科学系助理教授，十七年前开始定期举办数学历史研讨会。
Lawrence Somer，华盛顿美国天主教大学数学教授，曾发表以数论为题材的论文。
传播数学，普及大众
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