有趣的《数阵图》解题技巧学习
数阵图解题指导，大家好我是小梁老师。这节课我们来学习填数阵。
一、认识幻方和数阵
把一些数填人横竖都相等的图形中，使图中每一行、每一列和对角线上的各个数之和都相等，从而形成的方阵图叫做幻方。常见的有三阶幻方和五阶幻方。数阵是由幻方演化而来的，将幻方加以变化就形成了“数阵图”，数阵中常见的有方阵图(又可分为实心方阵和空心方阵两种)、辐射型数阵和封闭型数阵，还有复合型数阵。今天的例题就给同学们介绍一些填数阵图的方法和小窍门。
二、解答幻方和数阵的关键
解答幻方和数阵图的关键是抓住图中容易填的部分，特别是图的中心，然后再填其他部分。
我国古代就对幻方与数阵有深入的研究，并且进行了幻方编制，常见的方法有九子排列、上下对易、四维挺出、左右相更，三阶幻方中每行、每列、每条对角线上的几个数之和都相等，这个相等的和叫“幻和”。
编制幻方应注意几点：
1.幻和＝中心数×3
2.正中间数＝幻和÷3
3.幻和＝9个数之和÷3
4.9个连续的自然数中，第2、4、6、8个数是四个角上的数，而第5个数是中心数。
下面我们通过一些例题来学习掌握数阵的解决方法。
难题点拨①
把1～9这九个自然数填入下边的九宫格内，使它们的横列、纵列及对角线的三个数的和都相等(每个数字用一次，如图)。
解题分析：这就是我们常常提到的“三阶幻方”。填这个图要注意以下几点：
⑴因为题目要求“横列、纵列及对角线”上的三个数的和全相等，就必须将1～9的中间数“5”填在图的正“中心”，以便让四周所有的数都和它“相加”;
⑵因为“拐角”上的数要“加三次”(即横列、纵列和对角线，所以，“1”和“9”这两个最小和最大的数不能填在“拐角”上，可以随意填在某一边的中间(如图)。
⑶因为“1”是这九个数中最小的数，所以与它相”连”的数应填“8”。
这几个关键的数填好之后，其余各数就非常好填。同学们你不妨试一试，而且应当换位置多试几次。多试填几次，可以填很多种，不仅好玩而且有益。
难题点拨②
把1～7这七个数分别填入下图各圆圈内，使三条线段上的三个数的和相等(如图)。
解题分析：根据题意，我们在计算图中三条线段上的各数之和时，正中心的那个数被用上了3次，即被多加了2次。若正中心这个数填的是“A”，那么“1 2 3 4 5 6 7 2A”一定能被3整除(三条线段上的各数和相等)。因为(1 2 3 4 5 6 7)的和除以3的余数是1，所以“2A”除以3就应余2。
由“2A被3除，余2”，可知，A应当为1、4或7。
当中心数填“1”时，各条线段上的数字和为:(1 2 3 4 5 6 7 1x2)÷3＝10；
当中心数填“4”时，各条线段上的数字和为:(1 2 3 4 5 6 7 4x2)÷3＝12;
当中心数填上“7”时各条线段上的数字和为:(1 2 3 4 5 6 7 7x2)÷3＝14。
推算出了中心数及相应的各线段上的数字和，再来填“数阵图”就非常容易了，而且每种的填法都有好多种，现各选一种填法如下图：
难题点拨③
把1～9填入图中的圆圈里，使它每条边上的四个数的和都等于20(又知某角上已经填了“8”)。
解题分析：在计算三边之和的时候，三个角上的数都被用了2次，即分别多用了一次。题这九个数的和是20，总和则是60，而1～9这九个数的和是(1 9)×9÷2＝45，由此可知，三个角上的数字和为60-45＝15。已知一个角上的数字是“8”，另外两个角上所填数字之和一定是“7”。
和为“7”的两个数的取值情况有：1和6；2和5；3和4。
经过以上分析，再来填图也不会太困难了。下面图中就是其中的两个基本的填法：
难题点拨④
把1～9九个数填入图中的各圆圈内，使每个角到中心的三个数的和相等，并且使两个正方形四个顶点上的数的和也都相等。
解题分析：这个数阵图既有辐射型的要求，又有封闭型的要求，因此，我们在分析时应当分两步来思考。
⑴先按辐射型来分析：中心数被多加了三次。1～9各数的和是45，加中心数重复计算之和应能被“4”整除(向周围四个角辐射)，因此，中心的那个数只能填1、5或9。由此便得到三种基本的填法如下图：
⑵再按封闭型分析：它们分别去掉中心数后，外边两个正方形的四个数的和应分别为：
(45-1)÷2=22
(45-5)÷2=20
(45-9)÷2=18
最后只要根据这些算出来的“和”，将内外两个正方形中的个别数字稍加调整，就可以了(见下面图中三种填法)。
难题点拨⑤
请在下图空格中填上适当的数字，使每一横行，每一竖行，每一斜行的三数之和相同。
解题分析：通过观察可以发现，该题没给定数字的和，也无法求出和，我们来分析下本题，用一些小动物来代替方格中的数字，我们先从数字最多的行入手，即:
斜行52 78 牛＝牛 灰狼 130，等号两边都出现了牛，可以将两边的牛都去掉，即:52 78＝130 灰狼，则灰狼＝52 78-130，现在大灰狼可以走了。
同理:130 78 山羊＝山羊 52 熊，则同理求出熊＝130 78-52＝156，现在熊也可以走了。
求出熊和灰狼后，就可得出每横行、每竖行、每斜行的和为156 78 0＝234，现在我们可以依次把白兔、牛、山羊、猴子求出来。
通过以上几个例题的分析，我们发现：解数阵图的突破口是寻找“中心”或“拐角”上的那些“重叠数”，根据它们的重复次数，同时抓住“余数”进行讨论，从而确定“重叠”的取值范围。若它们的取值比较多，就通过“试填”来筛选。
这节课我们就讲这么多内容，希望本节课的内容同学们都可以学会。我是小梁老师，我们下节课见！
