高斯法解决线性方程组

线性方程组的基本运算

对任何线性方程组进行三种操作可得到一个等价的方程组:

1. 将任意两个方程交换

2. 将系统中任何方程的所有项乘以任何不等于零的数

3. 将任意两个方程相加/相减(左右同时)

矩阵行的运算

上面可以看出方程组的变换与矩阵的行变换是一致的,因此可以用矩阵变换解方程组。

行阶梯形矩阵遵循以下规则:

阶梯矩阵形式:

高斯消元法求解线性方程组例题(用高斯消元法解决线性系统问题)(1)

最简形的阶梯矩阵:

高斯消元法求解线性方程组例题(用高斯消元法解决线性系统问题)(2)

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通过将系统的增广矩阵改写为行阶梯形来求解下列线性方程组

高斯消元法求解线性方程组例题(用高斯消元法解决线性系统问题)(3)

解:系统的增广矩阵如下:

高斯消元法求解线性方程组例题(用高斯消元法解决线性系统问题)(4)

步骤1:在第一列中使用行操作使其生成一个主元1,但本例已有,不用这一步了。

将第(2)行加第(1)行乘-2行,在第(3)行加第(1)行乘-5。

高斯消元法求解线性方程组例题(用高斯消元法解决线性系统问题)(5)

步骤2:在第2列中使用行操作或它们的组合生成一个1(如果没有的话),本例已有。

将- 1乘以行(2)加到行(3)

高斯消元法求解线性方程组例题(用高斯消元法解决线性系统问题)(6)

上面的矩阵是行阶梯形。相应的线性系统为:

高斯消元法求解线性方程组例题(用高斯消元法解决线性系统问题)(7)

可以将z带回上一个方程得出y, 然后求出z。

高斯消元法求解线性方程组例题(用高斯消元法解决线性系统问题)(8)

最后得出解:

高斯消元法求解线性方程组例题(用高斯消元法解决线性系统问题)(9)

前面谈到最简阶梯形矩阵,我们注意到在主元的1上下都是0。求矩阵的最简阶梯形的方法称为高斯法。

我们继续对上面最后一个增广矩阵做行变换。

高斯消元法求解线性方程组例题(用高斯消元法解决线性系统问题)(10)

将第二行加上第三行乘以6:

高斯消元法求解线性方程组例题(用高斯消元法解决线性系统问题)(11)

接着将第一行加上第三行:

高斯消元法求解线性方程组例题(用高斯消元法解决线性系统问题)(12)

最后将第一行减去第二行:

高斯消元法求解线性方程组例题(用高斯消元法解决线性系统问题)(13)

将增广矩阵改写为最简阶梯形的优点是,无需进一步计算就能给出给定方程组的解,如下所示:

高斯消元法求解线性方程组例题(用高斯消元法解决线性系统问题)(14)

总结一下高斯消元法转换为最简形的阶梯矩阵的方法是:

  1. 构造一个需要的增广矩阵。
  2. 互换行,使第一行是的首位是1,如果没有一般可以将一个合适的放在首行。
  3. 将首行的第一列数a去除第一行的全部元素,使首行第一个数变成1.
  4. 将首行乘以一个系数消掉首行下面第一列的所有元素,使其它行的首项都是0.
  5. 重复3-4步,使得其它非零行的首位是1,直到形成一个阶梯矩阵。
  6. 最后利用行运算把所得的阶梯矩阵变成最简阶梯矩阵。

上面的高斯法也可以用来求矩阵A的逆矩阵,其方法就是:

高斯消元法求解线性方程组例题(用高斯消元法解决线性系统问题)(15)

上述式子就是把增广矩阵AlI经过一系列高斯法的行变换,使得AlI变为IlC, C就是A的逆矩阵。关于逆矩阵的另外一种求法请参见什么是矩阵的逆矩阵 。

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