外接球内切球半径公式总结（球的外接与内切问题总结）

最近上课中发现学生对球的内切与外接问题颇感头疼，其实，不用画出球体，只要找到球心和半径，或者画出球的正截面，转化为平面几何问题即可。下面给出几个办法，希望对困于空间想象能力而卡在此问题的同学以帮助。

一、球的内接正方体或长方体

• 正方体、长方体的对角面内接于球的大圆，因而他们的体对角线等于2R

例1. 长方体一个顶点上的三条棱分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是多少？

二、球的内接正棱锥

• 正棱锥的高通过球心

例2. 在球面上有4个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两相互垂直且PA=PB=PC=a，那这个球面的面积为？

三、球内切于旋转体

• 旋转体轴截面过球心，即球大圆为旋转体的轴截面的内切圆

例3. 圆台外切于球，且圆台的侧面积和球的表面积之比为4：3，则圆台与球的体积之比为多少？

四、球内切于正棱柱

• 底面正多边形的边心距就是球的半径，棱柱的高就是球的直径

例4. 正三棱柱有一内切球，已知球的半径为R，则这个三棱柱的体积为多少？

五、球的内接旋转体

• 旋转体的底面圆在球面上，旋转体的轴截面内接于球的大圆，旋转轴通过球心

例5. 过圆锥的外接球的球心，作一个与底面圆平行截面，如果截面恰好平分圆锥的侧面，（1）求圆锥轴截面的顶角；（2）如果外接球的半径为1，求圆锥的体积

结语：

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