学完了相交线与平行线后，初中几何推理证明的序幕也就正式拉开了。我们知道平行线的有如下性质：
性质1：两直线平行，同位角相等。
性质2：两直线平行，内错角相等。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
会背这三条性质定理，是掌握平行线性质的基础，更重要的是——会用这三条定理进行几何计算、证明，尤其对于复杂含有分类讨论的平行线性质与判定综合应用探究问题，敢于挑战。
例1.将一副三角板的直角重合放置，如图1所示，
（1）图1中∠BEC的度数为________;
（2）三角板△AOB的位置保持不动，将三角板△COD绕其直角顶点O顺时针方向旋转：
①当旋转至图2所示位置时，恰好OD∥AB，求此时∠AOC的大小；
②若将三角板△COD继续绕O旋转，直至回到图1位置，在这一过程中，是否会存在△COD其中一边能与AB平行？如果存在，请你画出图形，并直接写出相应的∠AOC的大小；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）由已知可求出∠CAE＝180°﹣60°＝120°，再根据三角形外角性质求出∠BEC的度数．
（2）①由OD∥AB可得∠BOD＝∠B＝30°，再由∠BOD ∠BOC＝90°和∠AOC ∠BOC＝90°求出∠AOC．
②将三角板△COD继续绕O旋转，OC边能与AB平行，由平行可得∠COB＝∠B＝30°，从而求出∠AOC．
本题的(1)和(2)的第一小问，同学们都可以比较顺利地找到答案，但是最后一问，当三角板COD旋转起来，往往会出现漏掉答案的情况，除了认真审题之外，解决此类问题，必须要通过画图来协助解题，下面gif动图是三角板COD绕点O旋转一周的情况，同学们可以观察∠AOC在旋转过程中位置和大小的变化。
【解答】（1）∠CAE＝180°﹣∠BAO＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BEC＝∠C ∠CAE＝45° 120°＝165°，
故答案为：165°．
（2）①∵OD∥AB，
∴∠BOD＝∠B＝30°，
又∠BOD ∠BOC＝90°，∠AOC ∠BOC＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD＝30°．
②存在，如图1，∠AOC＝120°；
如图2，∠AOC＝165°；
如图3，∠AOC＝45°；
如图4，∠AOC＝150°；
如图5，∠AOC＝60°；
如图6，∠AOC＝15°．
【解题秘籍】这类题目要注意：首先要回答题目的问题，不能直接写证明过程；注意充分运用三角板角度的数量特性，确定动态下图形构成可能出现三线八角模型，并注意性质和判定是综合起来进行运用。
例2.如图1是一个舞台，上下两边a、b平行．在A、B两点处各有一个旋转灯，其灯光为一条射线，开始表演前，两灯均指向正右方．开始表演的瞬间，A灯开始顺时针旋转，速度为4°/分钟，B灯开始逆时针旋转，速度为5°/分钟，A灯转半圈停止，B灯转一圈停止．
（1）开始表演后t分钟，两灯灯光所在直线平行，求t.
（2）当B灯在旋转过程中某一时刻正好照向A点，A灯灯光与B灯灯光正好垂直，若此时A灯灯光照向直线b上的M点，求∠AMB的度数．
【分析】第一小问，我们应该分两种情况考虑．（1）由于B灯转速快，则相同时间，B灯旋转角度数比A灯旋转角度数大．根据我们之前的结论"如果两个角的两边分别平行，则两个角相等或互补"，显然第一种情况是两个旋转角互补．（2）B灯旋转角度数超过180°，则用360°减去B灯旋转角的度数与A灯旋转角度数相等．
第二小问，根据题意，结合作图，不难发现A灯旋转角的内错角是∠ACB，因此，保证B灯旋转角的度数与A灯旋转角度数和为90°即可，下面通过GIF动图（下图2）帮助你分析整个过程！
【解答】（1）∠EAC＝4t，∠DBF＝5t，
①4t＋5t＝180，t＝20，如图3，
② 4t＝360－5t，t＝40，如图4，
（2）5t＋4t＝90， t＝10，∠AMB＝4t＝40°，如图5，
【解题秘籍】这类题目，首先要将实际问题，转换为数学问题，利用旋转可能产生情形添线构造 "三线八角"模型，继而利用平行线的性质求解问题
牛刀小试:
1.中国最长铁路隧道西康铁路秦岭一线隧道全长十八点四六千米，为目前中国铁路隧道长度之首，被称为"神州第一长隧"．为了安全起见在某段隧道两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A发出的光束从AC开始顺时针旋转至AD便立即回转，灯B发出的光束从BE开始顺时针旋转至BF便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A旋转的速度是每秒3度，灯B旋转的速度是每秒2度．已知CD∥EF，且∠BAD＝1/3∠BAC，设灯A旋转的时间为t（单位：秒）．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若灯B发出的光束先旋转10秒，灯A发出的光束才开始旋转，在灯B发出的光束到达BF之前，若两灯发出的光束互相平行，求灯A旋转的时间t；
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A发出的光束到达AD之前，若两灯发出的光束交于点M，过点M作∠AMN交BE于点N，且∠AMN＝135°．请探究：∠BAM与∠BMN的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
【解析】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
（1）根据∠BAC ∠BAD＝180°，∠BAC：∠BAD＝3：1，即可得到∠BAD的度数为45°；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜60时，如图2，
∵CD∥EF，∴∠EBE'＝∠BE'A，
∵BE'∥AC'，∴∠BE'A＝∠CAC'，∴∠EBE'＝∠CAC'，∴3t＝2（10 t），
解得 t＝20；
②当60＜t＜80时，如图3，
∵CD∥EF，∴∠EBE' ∠BE'D＝180°，
∵AC'∥BE'，∴∠BE'D＝∠C'AD，∴∠EBE' ∠C'AD＝180°
∴2（10 t） （3t﹣180）＝180，解得 t＝68，
综上所述，当t＝20秒或68秒时，两灯的光束互相平行；
（3）∠BAM与∠BMN关系不会变化．
理由：如图4，设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠MAD＝180°﹣3t，∴∠BAM＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，
又∵∠ABM＝135°﹣2t，
∴∠BMA＝180°﹣∠ABM﹣∠BAM＝180°﹣（135°﹣2t）﹣（3t﹣135°）＝180°﹣t，而∠AMN＝135°，
∴∠BMN＝135°﹣∠BMA＝135°﹣（180°﹣t）＝t﹣45°，
∴∠BAM：∠BMN＝3：1，即∠BMN＝1/3∠BAM，
∴∠BAM和∠BMN关系不会变化．
【方法总结】
1、 判定直线平行的第一步是区分角的位置关系，看某一对角是不是同位角、内错角或同旁内角其中之一；利用3种方法判定平行时，请一定留心，看清所找到的一对角和需要证明的一对平行线是否相关，避免出现"张冠李戴"的情况；无论是同位角、内错角还是同旁内角，在判定平行时，为避免出错，都可以先把这一对角画出来(用不同颜色笔描出来)。
2、"逆推法"，即根据结论逆推条件，如果条件正好满足，则结论也自然成立，这种方法在几何证明中非常常见，同学们一定要灵活掌握；在证明直线平行时，需要找判定条件，即角的关系。一般情况下，不会直接给出判定条件，都需要"拐几道弯"，这个过程中往往会利用到平行线的性质。
3、在找角的关系(同位角、内错角、同旁内角)时，一定要结合已知条件，才能找到一对合理的角。平行线的判定和性质往往会结合着使用，不要混淆，尤其在做证明题时，依据千万不要写反了(比如明明想利用平行线的性质得到同位角相等，依据却写成"同位角相等，两直线平行)。
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