老黄最近都在分享画函数图像的一些例题。因此每次都会先介绍画函数图像的一般步骤。这次就不再赘述，直奔主题了。
练习：按函数作图的一般步骤，作f(x)=3x^5-5x^3的图像.
请自己先画一画这个函数的图像。
分析：1、确定函数的定义域；
这个函数在R上可导，这里不仅确定了它的定义域，同时还确定了函数没有间断点，也没有不可导点。
2、考察函数的奇偶性、周期性；
这是一个奇函数。因为f(-x)=3(-x)^5-5(-x)^3=-3x^5 5x^3=-(3x^5-5x^3)=-f(x). 奇函数决定了，我们只需要作出一半区间，再利用奇函数的图像关于原点对称，就可以作出另一半区间。另外，函数不存在周期性。
3、求函数的某些特殊点，如与两个坐标轴的交点，不连续点，不可导点等；
对函数的解析式因式分解，得到f(x)=x^3(3x^2-5)，就可以知道，当f(x)=0时，x=0或x=±根号15 /3. 即曲线与x轴有三个交点，包括原点和(0,±根号15 /3). 事实上，连续的奇函数就一定过原点。
4、确定函数的单调区间，极值点，凸性区间以及拐点；
当f'(x)=15x^4-15x^2=15x^2(x^2-1)=0时，求得函数有三个稳定点：x=0或x=±1.
函数的单调区间分别为：单调增区间(-∞,-1)U(1,∞)，单调减区间(-1,1). 这是由导数的符号性质决定的。
由极值的第一充分条件，可以知道，函数有极大值点(-1,2)和极小值点(1,-2).
又f"(x)=30x(2x^2-1)，可以得到曲线的上凸区间(-∞,-根号2/2)U(0,根号2/2)，以及下凸区间(-根号2/2,0)U(根号2/2, ∞)，这是二阶导数的符号性质决定的。
由于函数在R上连续，所以有拐点(-根号2/2, 7根号2 /8), (0,0), (根号2 /2, -7根号2/8).
5、考察渐近线；
函数没有渐近线，因为设函数有渐近线y=ax b，求得a,b都是无穷大。
6、画出函数图象。
现在归纳函数图像的性态如表：
可以看到，上表只归纳了函数在非正区间的性态。在这部分区间内，函数有三个关键点，极大值点x=-1, 以及拐点x=-根号2/2和x=0. 三个关键点将这部分区间又划分成三个区间，左边的区间上，函数图像是单调递增的上凸曲线；中间部分是单调递减的上凸曲线；右边区间是单调递减的下凸曲线。按这个表，作出函数的部分图像，然后再根据函数的奇函数性质，作出这部分图像关于原点的对称曲线就可以了。
函数的图像如图：
这个图像，和你画的图像有什么出入吗？
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