老黄最近都在分享画函数图像的一些例题。因此每次都会先介绍画函数图像的一般步骤。这次就不再赘述,直奔主题了。

练习:按函数作图的一般步骤,作f(x)=3x^5-5x^3的图像.

请自己先画一画这个函数的图像。

分析:1、确定函数的定义域;

这个函数在R上可导,这里不仅确定了它的定义域,同时还确定了函数没有间断点,也没有不可导点。

2、考察函数的奇偶性、周期性;

这是一个奇函数。因为f(-x)=3(-x)^5-5(-x)^3=-3x^5 5x^3=-(3x^5-5x^3)=-f(x). 奇函数决定了,我们只需要作出一半区间,再利用奇函数的图像关于原点对称,就可以作出另一半区间。另外,函数不存在周期性。

3、求函数的某些特殊点,如与两个坐标轴的交点,不连续点,不可导点等;

对函数的解析式因式分解,得到f(x)=x^3(3x^2-5),就可以知道,当f(x)=0时,x=0或x=±根号15 /3. 即曲线与x轴有三个交点,包括原点和(0,±根号15 /3). 事实上,连续的奇函数就一定过原点。

4、确定函数的单调区间,极值点,凸性区间以及拐点;

当f'(x)=15x^4-15x^2=15x^2(x^2-1)=0时,求得函数有三个稳定点:x=0或x=±1.

函数的单调区间分别为:单调增区间(-∞,-1)U(1,∞),单调减区间(-1,1). 这是由导数的符号性质决定的。

由极值的第一充分条件,可以知道,函数有极大值点(-1,2)和极小值点(1,-2).

又f"(x)=30x(2x^2-1),可以得到曲线的上凸区间(-∞,-根号2/2)U(0,根号2/2),以及下凸区间(-根号2/2,0)U(根号2/2, ∞),这是二阶导数的符号性质决定的。

由于函数在R上连续,所以有拐点(-根号2/2, 7根号2 /8), (0,0), (根号2 /2, -7根号2/8).

5、考察渐近线;

函数没有渐近线,因为设函数有渐近线y=ax b,求得a,b都是无穷大。

6、画出函数图象。

现在归纳函数图像的性态如表:

画六种情况一次函数的图像(画五次函数的图像的一般步骤)(1)

可以看到,上表只归纳了函数在非正区间的性态。在这部分区间内,函数有三个关键点,极大值点x=-1, 以及拐点x=-根号2/2和x=0. 三个关键点将这部分区间又划分成三个区间,左边的区间上,函数图像是单调递增的上凸曲线;中间部分是单调递减的上凸曲线;右边区间是单调递减的下凸曲线。按这个表,作出函数的部分图像,然后再根据函数的奇函数性质,作出这部分图像关于原点的对称曲线就可以了。

函数的图像如图:

画六种情况一次函数的图像(画五次函数的图像的一般步骤)(2)

这个图像,和你画的图像有什么出入吗?

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