辅助圆是一种工具,方便我们解题,包含求解线段和角度。而线段包括定值求解及最值,角度也有定值和最值。这个专题将带领同学们通过辅助圆的思想,解决我们的中考压轴题目,为压轴题目找到简洁的办法。

初中数学圆的垂径定理知识点 中考数学知识点难点让你弄懂(1)

同底同侧张角2倍

当在四边形或多三角形中,出现共边同侧张角存在二倍关系时,可转化为同弦所对圆心角为圆周角的2倍,进而构造辅助圆。

初中数学圆的垂径定理知识点 中考数学知识点难点让你弄懂(2)

原理讲解 一、

如图:若PA=PB,∠APB=2∠ACB,可转化为以P为圆心,A,B,C在同一圆上的辅助圆

初中数学圆的垂径定理知识点 中考数学知识点难点让你弄懂(3)

典型例题 一、

1.如图,若PA=PB,∠APB=2∠ACB,AC与PB交于点D,且PB=4,PD=3,则AD•DC=  

初中数学圆的垂径定理知识点 中考数学知识点难点让你弄懂(4)

【思路点拨】

以P为圆心,以PA=PB为半径作圆,延长BD交圆于M,如图,证明C在圆上,利用AD•DC=BD•DM来求出它的值.借助辅助圆思想。

答案 7.

初中数学圆的垂径定理知识点 中考数学知识点难点让你弄懂(5)

同类练习 一、

如图:已知PA=PB,∠APB=2∠ACB,AC与PB交于点D,若PB=4,PD=3,AD=5,则DC=  

初中数学圆的垂径定理知识点 中考数学知识点难点让你弄懂(6)

【思路点拨】.

延长BP到E,使PE=PB=4,出现同弦所对圆周角2关系,由辅助圆思想得出结果。

答案为:7/5


同底同侧角相等

当在四边形或多三角形中,出现共边同侧张角存在相等关系,可转化为同弦所对圆周角相等,进而构造辅助圆。

初中数学圆的垂径定理知识点 中考数学知识点难点让你弄懂(7)

原理讲解 二、

如图:若∠D=∠E,由CB为共边可以构造DCBE在同一圆的辅助圆,利用同弦所对圆周角相等。

初中数学圆的垂径定理知识点 中考数学知识点难点让你弄懂(8)

当共边所对为直角时,共边为直径,同样满足辅助圆的做法。

初中数学圆的垂径定理知识点 中考数学知识点难点让你弄懂(9)

典型例题 二、

正方形ABCD的中心为O,面积为1989cm2.P为正方形内一点,且∠OPB=45°,PA:PB=5:14.则PB=   .

初中数学圆的垂径定理知识点 中考数学知识点难点让你弄懂(10)

【思路点拨】

首先证出O,P,A,B四点共圆,AB边所对圆周角相等,可以利用辅助圆思想。由此推出∠APB=90°,设PA=5x,PB=14x,根据勾股定理即可求出x,进一步得到PB的长度.

【解答】

解:连接OA,OB,

∵正方形ABCD的中心为O,∠OPB=45°,

∴∠OAB=∠OPB=45°,∠OBA=45°,

∴O,P,A,B四点共圆,

∴∠APB=∠AOB=180°﹣45°﹣45°=90°,

在△PAB中由勾股定理得:PA2 PB2=AB2=1989,

由于PA:PB=5:14,

设PA=5x,PB=14x,

(5x)2 (14x)2=1989,

解得:x=3,

∴PB=14x=42.

故答案为:42cm.

初中数学圆的垂径定理知识点 中考数学知识点难点让你弄懂(11)

同类练习

1.如图,四边形ABCD是正方形,点E是边BC上的一点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.

(1)如图1,当点E是BC的中点时,猜测AE与EF的关系,并说明理由.

(2)如图2,当点E是边BC上任意一点时,(1)中所猜测的AE与EF的关系还成立吗?请说明理由.

初中数学圆的垂径定理知识点 中考数学知识点难点让你弄懂(12)

【思路点拨】

(1)连接AF,AC易证∠ACF为90°由共底,所对角相等得知A,E,C,F在同一圆上,由辅助圆思想求解。

(2)在AB上取点G,连接EG,同(1)的方法相似。

往期精选

辅助圆轻松解决中考数学压轴(1)——定义构造辅助圆

中考知识点:关于辅助圆解决初三数学难题技巧2——等线段共顶点

初中数学圆的垂径定理知识点 中考数学知识点难点让你弄懂(13)

,