辅助圆是一种工具，方便我们解题，包含求解线段和角度。而线段包括定值求解及最值，角度也有定值和最值。这个专题将带领同学们通过辅助圆的思想，解决我们的中考压轴题目，为压轴题目找到简洁的办法。
同底同侧张角2倍
当在四边形或多三角形中，出现共边同侧张角存在二倍关系时，可转化为同弦所对圆心角为圆周角的2倍，进而构造辅助圆。
原理讲解 一、
如图：若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，可转化为以P为圆心，A,B,C在同一圆上的辅助圆
典型例题 一、
1．如图，若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB交于点D，且PB＝4，PD＝3，则AD•DC＝ ．
【思路点拨】
以P为圆心，以PA＝PB为半径作圆，延长BD交圆于M，如图，证明C在圆上，利用AD•DC＝BD•DM来求出它的值．借助辅助圆思想。
答案 7．
同类练习 一、
如图：已知PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB交于点D，若PB＝4，PD＝3，AD＝5，则DC＝
【思路点拨】.
延长BP到E，使PE＝PB＝4，出现同弦所对圆周角2关系，由辅助圆思想得出结果。
答案为：7/5
同底同侧角相等当在四边形或多三角形中，出现共边同侧张角存在相等关系，可转化为同弦所对圆周角相等，进而构造辅助圆。
原理讲解 二、
如图：若∠D=∠E，由CB为共边可以构造DCBE在同一圆的辅助圆，利用同弦所对圆周角相等。
当共边所对为直角时，共边为直径，同样满足辅助圆的做法。
典型例题 二、
正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2．P为正方形内一点，且∠OPB＝45°，PA：PB＝5：14．则PB＝ ．
【思路点拨】
首先证出O，P，A，B四点共圆，AB边所对圆周角相等，可以利用辅助圆思想。由此推出∠APB＝90°，设PA＝5x，PB＝14x，根据勾股定理即可求出x，进一步得到PB的长度．
【解答】
解：连接OA，OB，
∵正方形ABCD的中心为O，∠OPB＝45°，
∴∠OAB＝∠OPB＝45°，∠OBA＝45°，
∴O，P，A，B四点共圆，
∴∠APB＝∠AOB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
在△PAB中由勾股定理得：PA2 PB2＝AB2＝1989，
由于PA：PB＝5：14，
设PA＝5x，PB＝14x，
（5x）2 （14x）2＝1989，
解得：x＝3，
∴PB＝14x＝42．
故答案为：42cm．
同类练习
1．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的一点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）如图1，当点E是BC的中点时，猜测AE与EF的关系，并说明理由．
（2）如图2，当点E是边BC上任意一点时，（1）中所猜测的AE与EF的关系还成立吗？请说明理由．
【思路点拨】
（1）连接AF，AC易证∠ACF为90°由共底，所对角相等得知A，E，C，F在同一圆上，由辅助圆思想求解。
（2）在AB上取点G，连接EG，同（1）的方法相似。
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