肖博数学小题专练·(八) 三角恒等变换、解三角形，今天小编就来聊一聊关于高中数学速解三角形?接下来我们就一起去研究一下吧!
高中数学速解三角形
肖博数学小题专练·(八) 三角恒等变换、解三角形
一、选择题
1.(2017·广州一模)已知 tanθ=2，且 θ∈
0，
π
2 ，则 cos2θ=( )
A.
4
5
B.
3
5
C.-
3
5
D.-
4
5
答案 C
解析 cos2θ=cos2θ-sin2θ=
cos2θ-sin2θ
cos2θ sin2θ
=
1-tan2θ
1 tan2θ
，将 tanθ=2
代入可得 cos2θ=-
3
5，故选 C。
2.(2017·南宁一模)已知角 θ 的终边过点
2sin2
π
8-1，a ，若 sinθ
=2 3sin13π
12 cos
π
12，则实数 a 等于( )
A.- 6 B.-
6
2
C.± 6 D.±
6
2
答案 B
解析 因为 2sin2
π
8-1=-cos
π
4=-
2
2 ，所以 sinθ=
a
1
2 a
2
=-
2 3sin π
12cos
π
12=-
3
2 ，且 a<0，解得 a=-
6
2 。故选 B。
3.若 cos
π
2-α =
2
3 ，则 cos(π-2α)=( )
A.
5
9
B.-
5
9
2
C.
2
9
D.-
2
9
答案 B
解析 由题设可得 sinα=
2
3 ，所以 cos(π-2α)=-cos2α=2sin2α
-1=2×
2
3
2-1=-
5
9，故选 B。
4.(2017·唐山一模)已知 α 为锐角，且 cos
α
π
4 =
3
5，则 cos2α=
( )
A.
24
25 B.
7
25
C.-
24
25 D.±
24
25
答案 A
解析 ∵α 为锐角，∴
π
4
<α
π
4
<
3π
4 。又∵cos
α
π
4 =
3
5，∴sin
α
π
4 =
4
5。∴cos2α=sin
2α
π
2 =2sin
α
π
4
cos
α
π
4 =
24
25，故选 A。
5.(2017·深圳一模)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，
c，已知 cosC=
1
4，a=1，c=2，则△ABC 的面积为( )
A.
15
4
B.
15
8
C.
1
4
D.
1
8
答案 A
解析 由余弦定理，知 c
2=a
2 b
2-2abcosC，代入 cosC=
1
4，a
=1，c=2，解得 b=2，又由 cosC=
1
4，解得 sinC=
15
4 ，所以 S△ABC
=
1
2
a·b·sinC=
15
4 ，故选 A。
3
6.(2017·衡阳模拟)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，
b，c，且 b(2sinB sinA) (2a b)sinA=2csinC，则 C=( )
A.
π
6
B.
π
3
C.
2π
3
D.
5π
6
答案 C
解析 ∵b(2sinB sinA) (2a b)sinA=2csinC，∴由正弦定理可
得 b(2b a) (2a b)a=2c
2，整理可得 b
2 a
2-c
2=-ab，∴由余弦
定理可得 cosC=
a
2 b
2-c
2
2ab =
-ab
2ab =-
1
2。∵C∈(0，π)，∴C=
2π
3 ，故
选 C。
7.(2017·长沙模拟)△ABC 中，C=
2π
3 ，AB=3，则△ABC 的周
长为( )
A.6sin
A
π
3 3
B.6sin
A
π
6 3
C.2 3sin
A
π
3 3
D.2 3sin
A
π
6 3
答案 C
解析 设△ABC 的外接圆半径为 R，则 2R=
3
sin
2π
3
=2 3，于是
BC=2RsinA=2 3sinA，AC=2RsinB=2 3sin
π
3-A ，于是△ABC 的
周长为 2 3
sinA sin
π
3-A 3=2 3sin
A
π
3 3。故选 C。
8.如图，已知 D 为 Rt△ABC 的斜边 AC 上一点，DE⊥AB 于点
4
E，若 AE=6，BC=4，则△ABD 的面积为( )
A.6 B.12
C.18 D.24
答案 B
解析 由题意，知在 Rt△ADE 中，AD=
AE
cosA=
6
cosA。在 Rt△ABC
中，AB=
BC
tanA=
4cosA
sinA ，则 S△ABD=
1
2
AD·ABsinA=
1
2
·
6
cosA
·
4cosA
sinA
·sinA=
12，故选 B。
9.在△ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
若 S△ABC=2 3，a b=6，
acosB bcosA
c =2cosC，则 c 等于( )
A.2 7 B.4
C.2 3 D.3 3
答案 C
解析 因为
acosB bcosA
c =2cosC，由正弦定理，得 sinAcosB
cosAsinB=2sinCcosC，所以 sin(A B)=sinC=2sinCcosC，由于
0
1
2，所以 C=
π
3，因为 S△ABC=2 3=
1
2
absinC
=
3
4
ab，所以 ab=8，又 a b=6，所以
a=2，
b=4
或
a=4，
b=2，
c
2=
a
2 b
2-2abcosC=4 16-8=12，所以 c=2 3。故选 C。
5
10.如图，在△ABC 中，C=
π
3，BC=4，点 D 在边 AC 上，AD
=DB，DE⊥AB，E 为垂足，若 DE=2 2，则 cosA 等于( )
A.
2 2
3
B.
2
4
C.
6
4
D.
6
3
答案 C
解析 在△ABC 中，因为 DE⊥AB，DE=2 2，所以 AD=
2 2
sinA，
所以 BD=AD=
2 2
sinA，所以 A=∠ABD，所以∠BDC=A ∠ABD=2A，
在△BCD 中，由正弦定理得 BD
sinC=
BC
sin∠BDC
，即
2 2
sinA
3
2
=
4
sin2A，整理得
cosA=
6
4 。故选 C。
11.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b=1，
a=2c，则 sinC 的最大值为( )
A.
1
5
B.
1
2
C.
1
3
D.
1
4
答案 B
6
解析 由余弦定理可得 cosC=
a
2 1-c
2
2×1×a
=
3c
2 1
4c
≥
2 3c
4c =
3
2 ，
当且仅当 c=
3
3 时取等号。所以 C 的最大值为π
6，所以 sinC 的最大值
为
1
2。故选 B。
12.(2017·洛阳二模)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，
b，c，且cosB
b =-
3cosC
c ，则角 A 的最大值为( )
A.
π
6
B.
π
4
C.
π
3
D.
π
2
答案 A
解析 由正弦定理得cosB
sinB=-
3cosC
sinC ，所以 tanC=-3tanB。所以
B，C 中有一钝角，所以角 A 必为锐角。所以 tanA=-tan(B C)=-
tanB tanC
1-tanBtanC
=
2tanB
1 3tan2B
>0。所以 tanB>0，tanA≤
2tanB
2 3tanB
=
3
3 ⇒
0
π
6，即角 A 的最大值为π
6，故选 A。
二、填空题
13.(2017·全国卷Ⅰ)已知 α∈
0，
π
2 ，tanα=2，则 cos
α-
π
4 =
________。
答案 3 10
10
解析 ∵α∈
0，
π
2 ，tanα=2，∴sinα=
2 5
5 ，cosα=
5
5 ，∴cos
α-
π
4
=cosαcos
π
4 sinαsinπ
4=
2
2 ×
2 5
5
5
5
=
3 10
10 。
7
14.(2017·湖北七市一模)已知△ABC 中，角 A，B，C 对边分别
为 a，b，c，C=120°，a=2b，则 tanA=________。
答案 3
2
解析 由正弦定理可得 sinA=2sinB，因为 B=180°-A-120°=
60°-A，所以 sinA=2sin(60°-A)，即 sinA= 3cosA-sinA，所以 2sinA
= 3cosA，故 tanA=
3
2 。
15.(2017·梅州一模)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为
a，b，c，若a
2-b
2= 3bc，且sinC=2 3sinB，则角A的大小为________。
答案 π
6
解析 由正弦定理及 sinC=2 3sinB，得 c=2 3b，又 a
2-b
2= 3
bc，所以 a
2=b
2 6b
2，即 a
2=7b
2，由余弦定理可得 cosA=
b
2 c
2-a
2
2bc
=
13b
2-7b
2
4 3b
2 =
3
2 ，则 A=
π
6。
16.(2017·安阳二模)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，
b，c，且(2a 2c-b)cosC=(a c)cosB bcosA，若 c=3，则 a b 的
最大值为________。
答案 6
解析 由正弦定理可得 2sinAcosC 2sinCcosC-sinBcosC=
sinAcosB sinCcosB sinBcosA，∴2sinAcosC 2sinCcosC=sin(B C)
sin(A B)，∴2(sinA sinC)cosC=sinA sinC，由此可得 cosC=
1
2，
故由余弦定理可得 9=a
2 b
2-ab，即(a b)
2=9 3ab，又 ab≤
1
4
(a
b)
2，所以1
4
(a b)
2≤9⇒a b≤6，故 a b 的最大值是 6。
8
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