如图,已知∠B=∠C=75°,BC=4,求三角形ABC面积。这题怎么做呢?

三角形abc与三角形bcd的面积差(已知BC4求三角形ABC面积)(1)

由∠B=∠C=75°,可得三角形ABC是等腰三角形,AB=AC,∠A=30°。

三角形abc与三角形bcd的面积差(已知BC4求三角形ABC面积)(2)

30°是特殊角,它在直角三角形中很有用,我们不妨构造一个30°、60°直角三角形。

如图,过点B作AC垂线,

三角形abc与三角形bcd的面积差(已知BC4求三角形ABC面积)(3)

BD⊥AC,三角形ABD为30°、60°直角三角形。

根据30°、60°直角三角形三边关系,我们假设BD=x,则AB=2x,AD=√3x,

而AC=AB=2x,所以CD=AC-AD=2x-√3x=(2-√3)x,

三角形abc与三角形bcd的面积差(已知BC4求三角形ABC面积)(4)

接下来我们看到三角形BCD,三角形BCD为直角三角形,

且BD=x,CD=(2-√3)x,BC=4,

由勾股定理BD² CD²=BC²,

可得x² (2-√3)²x²=16,

这里我们无需解出x,只需得到x²=8 4√3即可。为什么呢?

我们的目标是求出三角形ABC的面积,以AC为底,

三角形ABC面积=AC×BD÷2=2x × x÷2=x²=8 4√3。

以上就是这道题的解法。

除此之外,你还有其他方法吗?欢迎在评论区留言~

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