中考几何进阶 11 辅助线法则(11)一道求面积的题

题: 已知长方形ABCD面积是36,E、F分别是AB、BC中点;BD、DF分别交CE于G、H,求阴影面积。

初中解几何题时加辅助线的技巧(中考几何进阶11辅助线法则)(1)

〖分析〗

先把残余的四方形划分成三角形:连接DE、BH。不建议AG和FG,因为图形中有相似三角形,要利用这个条件,因为面积比无非就是和线段比发生关系。各三角形标号如图,便于讲解。

初中解几何题时加辅助线的技巧(中考几何进阶11辅助线法则)(2)

见图,②+③和⑤这两个三角形相似(∵AB∥CD),相似比k=CD∶EB=2。这个是关键。

由等积模型易知,S(△BDF)=S(□ABCD)/4==9;显然需要求得③号的面积:阴影面积=S(△BDF)-S(③)。

平行四边形等积模型,②+③+④这个三角形面积是□ABCD的一半:S(②+③+④)=S(□ABCD)/2=18。这样,或者求出②或④的面积,或者求出它们与③的面积比。

先看④,显然S(④+⑤)=S(□ABCD)/4=9;而且S(④)∶S(⑤)=k=2,解得:S(⑤)=3,S(④)=6。

接下来就得解决②号的面积问题了。看不出能直接求②号面积的途径,所以寻求②与③号的面积比,这必然要通过“中介”。所谓中介者,既要与②号有关系,又要与③号有关系。

一个明显的中介是⑤号,S(②+③)∶S(⑤)=k^2,S(②+③)=4 S(⑤)=12,又拐到要求②号面积,由前分析,此路不通。

另一个可能的中介是①号。在①+②+③这个三角形中,由燕尾定理可知:S(①+③)∶S(②)=BF∶FC=1,即S(①+③)=S(②)。

这就要求寻找①和③的面积比(显然直接求①号面积困难程度等同于②)。而在③+①三角形中,再由燕尾定理,S(③)∶S(①)=k;即S(③)=2 S(①),联合S(①+③)=S(②)可解得S(②)=3 S(③)/2。

好了,问题解决了。回到S(②+③+④)=S(□ABCD)/2=18,把S(②)=3 S(③)/2和S(④)=6代入,解得S(③)=12/5。

最后,阴影面积=S(△BDF)-S(③)且S(△BDF)=S(□ABCD)/4=9(见前),解得:阴影面积=21/5=4.2。

另:附带可解得,GH∶HC=S(③)∶S(②)=2:3,以及DH∶HF=4:1。所以,可以体会一下由面积比求得线段比,何时可以走这条路。

,