我们曾经介绍过2的平方根的三种解法(延伸阅读:求2的平方根的三种方法),其实,还有一种好玩但没啥用的解法,推荐给大家茶余饭后玩耍。

让我们来看

求2的算术平方根(求2的平方根的另一种解法)(1)

谁都能看出,这个数在区间(1,2)之间

所以

求2的算术平方根(求2的平方根的另一种解法)(2)

注意了,我要开始变形了哦!

求2的算术平方根(求2的平方根的另一种解法)(3)

切%%%%………………这算啥变形哈!

别急,咱们继续玩,以下需要一点点智商哦

求2的算术平方根(求2的平方根的另一种解法)(4)

看懂了吗?就是将前面算出来的式子代入哦

我们继续哈

求2的算术平方根(求2的平方根的另一种解法)(5)

给点时间,您用草稿纸算算看?我相信你一定行的!

算好了吧,您是不是得到一个很漂亮的结果

求2的算术平方根(求2的平方根的另一种解法)(6)

是不是很漂亮很好玩,但毫无用处。(除了拉动草稿纸的消费)

为了避免森林被大量砍伐,我们使用数学家最常用的技术:定义

我们称

求2的算术平方根(求2的平方根的另一种解法)(7)

这样的分数为连分数,记作

求2的算术平方根(求2的平方根的另一种解法)(8)

显然,

求2的算术平方根(求2的平方根的另一种解法)(9)

(这样省钱多了!)

现在我们可以开始计算了。取

求2的算术平方根(求2的平方根的另一种解法)(10)

=1代入上式得

1次近似:

求2的算术平方根(求2的平方根的另一种解法)(11)

2次近似:

求2的算术平方根(求2的平方根的另一种解法)(12)

3次近似:

求2的算术平方根(求2的平方根的另一种解法)(13)

4次近似:

求2的算术平方根(求2的平方根的另一种解法)(14)

5次近似:

求2的算术平方根(求2的平方根的另一种解法)(15)

亲爱的,您找到规律了吗?递推数列而已。

求2的算术平方根(求2的平方根的另一种解法)(16)

而且,这个算法还不慢哦,也就5次迭代,就可以达到3个小数位的精确值。

当然,我们也可以取

求2的算术平方根(求2的平方根的另一种解法)(17)

=2代入上式,也可以得到一系列近似值。

1次近似:

求2的算术平方根(求2的平方根的另一种解法)(18)

2次近似:

求2的算术平方根(求2的平方根的另一种解法)(19)

3次近似:

求2的算术平方根(求2的平方根的另一种解法)(20)

4次近似:

求2的算术平方根(求2的平方根的另一种解法)(21)

5次近似:

求2的算术平方根(求2的平方根的另一种解法)(22)

随便你喜欢,代一个数进去迭代计算即可,甚至不需要1或者2,带入0一样可以算出来哦。

这个巨大无比,超浪费草稿纸的分数,称为连分数,因为书写实在太浪费了,根本不敢出现在课本里,要不然以中国人出教辅的习惯,《五三》至少要厚30%。

但是连分数很好玩,如果你一直为你的计算能力发愁,告诉你,算几个连分数,什么计算粗心再也不存在了。

还有一个训练计算能力的好玩意,叫角古猜想,有兴趣可以玩玩哦。

哦,对了,不能瞎聊天了,咱们接着看这个连分数计算。还有不少很好玩的东西呢。

我们看

求2的算术平方根(求2的平方根的另一种解法)(23)

=1的近似数1.5, 1.4, 1.4167, 1.4138, 1.414

求2的算术平方根(求2的平方根的另一种解法)(24)

=2的近似数1.333, 1.428, 1.412, 1.415, 1.414

发现没有,这个数列不是递增,也不是递减,而是一上一下地逼近1.414,一个比1.414大,下一个就小。

也就是说

求2的算术平方根(求2的平方根的另一种解法)(25)

还有,如果我们将近似值写成分数

求2的算术平方根(求2的平方根的另一种解法)(26)

看出什么规律了么,每一个分数的分母就是上一个分数的分子分母之和,而分子就是两个分母之和。

我脑海中刷地飞过一个人——斐波那契!

对,就是那个飞一般的男子!那个养兔子的数学家!

嗯,我的后背有点发凉,冷汗直冒,这些性质,不正是中国高考数学出题人最喜欢的性质吗?

比如,出题人看到我的这篇小文,然后将换成或者其他什么数。

天啊,我干了什么

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