这是在百度上看到的几何题，做了一下确实不好做。用三角函数的方法很快就能做出，而且有多种做法。但是初中生怎样用几何方法证明呢？
难度非常大的几何题
我经常用等价变形来解几何题。这个几何题也很好做等价变形，我们看看怎样去做。
因为BD=CD，把△ADC绕D点顺时针旋转180°，可以得到如下等价几何题：
在△ABC中，已知∠ABD=30°、∠CBD=15°，AD=CD，求∠C=？。
等价几何题
等价变形后看起来题目简单，其实并不好做。我们继续补齐辅助线。
其实就是一个等腰直角三角形和一个长方形拼接在一起的图形，已知相关条件求角度。还是有点难。
继续等价变形
我们还可以继续补齐辅助线，得到下面这个图形，是不是很有意思。
一个大等腰直角三角形，里面有个长方形，给出相关条件求角度。
继续补齐辅助线得到大等腰直角三角形
现在看起来应该比较好做了。如果知道长方形AHCF的长宽比，角度就知道了。那么，怎样求长方形的长宽比呢？这时要用到关键已知条件：30°角、15°角。30°角对边是斜边的一半；15°角的作用是与30°角加起来等于45°，也就是等腰直角三角形两腰相等、斜边=√2直角边。
作DK⊥BE，设DK=x，则各线段的长度关系如下图。
PD/PC=(√6-√2)/(3√2-√6)=√3/3。
所以，∠PCD=30°。
各线段之间的关系
有些几何难题只要把隐藏的辅助线补齐，就会变得容易做出。后续我还会讲这方面的应用。
现在看看怎样用三角函数来解题。如图设线段和角度。
用三角函数解题
由正弦定理得：
a/sin30°=b/sin(135°-α)，①
a/sin15°=b/sinα。②
由①、②得：
tanα=√2sin15°/(1-√2sin15°)=√3/3，
所以，α=30°。
求sin15°的值可以用sin(60°-45°)得到。
再来看老师的解答，如拨云见日，非常好的方法。这样做辅助线可以把30°角和15°角联系起来，非常巧妙而且简单。学习了。
老师的解答
总结一下：这道几何题看似简单，如果作不出辅助线确实不好做。这道题最终都要用到30°角和45度角的直角三角形来做。在解题过程中，不仅自己有研究所得，而且学到了老师给出的好方法，很有收获。我想，学习就是这样，取长补短，相得益彰。
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