大家知道，无理数也称为无限不循环小数，如圆周率π、√2（根号2）等，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。常见的无理数包括大部分数的平方根、π等。
小学和初中阶段学习的数均是有理数或无理数（即实数），实数分为有理数和无理数，无理数是无限不循环小数，应满足三个条件：①是小数；②是无限小数；③不循环。小学阶段接触的圆周率π就是常见的无理数。无理数是无限不循环小数，与之相对的是有理数，有理数是由所有分数，整数组成，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。
传说，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现。他发现了一个事实：若正方形的边长为1，则正方形对角线的长不是一个有理数。这与毕达哥拉斯学派的“万物皆数”（指有理数）的哲理大相径庭。而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。后来希伯斯将无理数透露给外人，触犯学派章程，将动摇他们在学术界的地位，因而希伯斯被处死。
毕氏弟子的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明它不能同连续的无限直线同等看待，有理数并没有布满数轴上的点。在数轴上存在着不能用有理数表示的区域。无理数的发现对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验转向依靠证明，推动了公理几何学与逻辑学的发展。
无理数的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不到正确的解释。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪下半叶。1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。
科学不等于圣洁。科学家不等于道德高尚，这样的教训古今都有。然而，真理毕竟是淹没不了的。人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的学者，就把不可通约的量取名为“无理数”。这便是“无理数”的由来。
由于无理数不能写成两整数之比，利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。
下面给出欧几里得《几何原本》中的证明方法：
证明：假设√2不是无理数，而是有理数.
既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：√2=p/q.
再假设p和q没有公因数可以约，则可以认为p/q为最简分数.
把 √2=p/q 两边平方得 2=(p^2)/(q^2)，
即 2(q^2)=p^2，
由于2(q^2)是偶数，p 必定为偶数，因此可设p=2s，
由 2(q^2)=4(s^2) 得 q^2=2s^2，
由于2s²是偶数，同理q²是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以q必然也为偶数.
既然p和q都是偶数，它们必定有公因数2，这与前面假设p/q是最简分数矛盾.
这个矛盾是由假设√2是有理数引起的，因此√2是无理数。
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