函数y=x+sinx有无极值（函数yln2）

函数y=ln(2 sinx)的单调凸凹性质归纳主要内容：

本文主要介绍三角与对数的复合函数y=ln(2 sinx)的定义域、单调性和凸凹性，并用导数知识解析函数的单调区间和凸凹区间。

※.函数定义域：

因为-1≤sinx≤1，

所以-1≤sinx≤1，则有：

0＜1=2-1≤2 sinx≤1 2=3，

则函数y=ln(2 sinx)的真数部分为正数，符合定义要求，所以该函数的定义域为全体实数，即定义域为：(-∞， ∞)。

※.函数单调性：

由导数的知识来求解和判断。

∵y=ln(2 sinx)，

∴dy/dx=cosx/(2 sinx),

令dy/dx=0,则cosx=0，此时x=kπ π/2,k∈Z.

函数的单调性为：

(1)当cosx＞0,即x∈[2kπ-π/2,2kπ π/2]时，dy/dx＞0，此时函数为增函数；

(2)当cosx＜0,即x∈[2kπ π/2,2kπ 3π/2]时，dy/dx＜0，此时函数为减函数。

※.函数凸凹性：

因为dy/dx=cosx/(2 sinx)，

所以d^2y/dx^2

=[-sinx(2 sinx)-cosxcosx]/(2 sinx)^2,

=-(2sinx sin^2x cos^2x)/(2 sinx)^2

=-(2sinx 1)/(2 sinx)^2.

(1)当-(2sinx 1)≥0时，即2sinx 1≤0，则：

[2kπ π arcsin(1/2),2kπ 2π-arcsin(1/2)],此时d^2y/dx^2≥0，函数为凹函数，该区间为函数的凹区间。

(2)当-(2sinx 1)＜0时，即2sinx 1＞0，则：

[2kπ-arcsin(1/2),2kπ π arcsin(1/2)],此时d^2y/dx^2＜0，函数为凸函数，该区间为函数的凸区间。

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