双正方形旋转背景下的轨迹问题
几何综合压轴题涉及到的变换中，旋转既考察了全等、相似等基本图形，还可以与圆、轨迹产生关联，并由此产生一系列可供探索的几何关系，在各地中考数学压轴题中，很常见。
而在备考过程中，针对此类题型的解题模型也随处可见，例如手拉手模型，但是在给学生讲题的时候，模型的建立并不能依靠老师灌输，需要引导学生领悟，只有真正理解了模型，用起来才会得心应手，下面以2021年江苏宿迁中考数学第27题为例说明。
题目
已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周.
(1)如图①，连接BG、CF，求CF：BG的值；
(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN，试探究：MN与BE的关系，并说明理由；
(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积.
解析：
(1)求线段比值，题目中却并没有给出任何一条线段的长度，因此构造一对相似三角形，并且使CF和BG恰好为其中一组对应边，是较为常见的解题方向，同时，正方形本身除了四边相等之外，还有对角线与边长间的特殊数量关系，联想到这两处，本小题并不难解决。
连接AC、AF，如下图：
AC、AF作为两个正方形的对角线，它们分别是边长的√2倍，所以在△ACF和△ABG中，有两条边对应成比例，且比值为√2：1，接下来我们看夹角，∠CAF=∠CAG ∠GAF，而∠BAG=∠BAC ∠CAG，通过比较发现，其中∠GAF=∠BAC=45°，于是可得∠CAF=∠BAG，证明△CAF∽△BAG，所以CF:BG=√2:1；
(2)条件中给出了M、N两个中点，这极易让人想以三角形中位线，但随即扫一眼图形就发现这不太可能，因为CF和BE并不是同一个三角形的两条边，它们属于四边形BCFE，请记住这一点；
中位线究竟何在？
三角形的中位线，使用前提是三角形两条边上各有一个中点，现实与定理的距离在于，这样的三角形不存在，因此首先需要构造这样的三角形，构造的方法较多，现列举两种：
第一种，既然CF和BE是四边形BCFE的对边，我们可以将四边形变成三角形，连接一条对角线即可，例如连接BF，同时再取BF的中点Q，如下图：
这样可实现方才目标，得到两条中位线，分别是△BCF的中位线MQ，△BEF的中位线NQ，同时得到MQ是正方形ABCD边长的一半，NQ是正方形AEFG边长的一半，即MQ=1/2AB，NQ=1/2AE，这样，在△MNQ和△BEA中，就有了两组对应边成比例了，和第1小题中面临的困难一样，还差夹角相等，当然，这次的困难更大一些。
基本方法是从其中一个角出发，寻找等量关系，朝另一个角前进，直到二者建立起联系。
∠MQN
=∠MQB ∠BQN
=∠QMF ∠CFB ∠BQN(利用外角转换)
=∠BCF ∠CFB ∠BQN(利用平行线间的同位角转换)
=∠BCF ∠CFB ∠BFE(利用另一组平行线间的同位角转换)
=∠BCF ∠CFE(合成一个角，回到了四边形中)
=360°-∠CBE-∠BEF(此处用到了四边形BCFE内角和)
=360°-(∠CBA ∠ABE)-(∠AEF ∠AEB)
=360°-90°-∠ABE-90°-∠AEB
=180°-∠ABE-∠AEB
=∠BAE
至此，成功证明了∠MQN=∠BAE，加上前面两边成比例，得到△MQN∽△BAE，且相似比为1：2，于是得到MN=1/2BE；
继续前面的探究，来证明它们垂直。
由NQ∥EF，得一对同位角相等
∠BNQ=∠BEF，其中∠BNQ=∠BNM ∠MNQ，∠BEF=∠BEA ∠AEF，而∠MNQ和∠BEA恰好是前面相似三角形的对应角，所以剩下的∠BNM=∠AEF=90°，垂直得证；
综上，MN⊥BE且MN=1/2BE；
第二种，利用中线倍长法，延长EM至点H，使EM=HM，再连接CH、BH，如下图：
中线倍长的优势在于全等三角形很容易构造出来，图中△CMH≌△FME，这一对全等可以得到EF=CH，借助正方形边长相等，得到AE=CH，再加上AB=CB，这样图中可出现第二对全等三角形，即△ABE≌△CBH，此处的难点在于证明∠BAE=∠BCH，我们依然通过角度间的等量转换来完成：
∠BCH
=∠BCF ∠MCH
=∠BCF ∠MFE(利用全等三角形的对应角相等转换∠MCH)
=360°-∠CBE-∠BEF(此处用到四边形BCFE内角和)
=360°-(∠CBA ∠ABE)-(∠AEF ∠AEB)
=360°-90°-∠ABE-90°-∠AEB
=180°-∠ABE-∠AEB
=∠BAE
与前面第一种方法类似，我们可完成第二对全等三角形的证明即△ABE≌△CBH，于是BE=BH，同时易得∠HBE=90°，现在图中出现了一个等腰直角三角形，Rt△HBE，MN恰好是它的中位线，因此MN⊥BE且MN=1/2BH=1/2BE；
(3)研究运动问题，必须找准运动根源，即主动点或线，本题中，主动的是正方形AEFG，绕点A旋转一圈，再来看线段QN，它和正方形的哪条边有关联呢？
显然是EF，因为在△BEF中，QN作为中位线，平行且等于EF的一半。
接下来的出路就是寻找QN在绕哪个点运动，然后画出图形求面积，然而我们可以有更“高效”的方法，只需要改换一下解读方式。
线段QN和线段EF，看作位似图形即可。
以位似图形的定义，BQ=1/2BF，BN=1/2BE，位似比为1:2，且无论EF旋转至何位置，QN都与EF位似，基于这个认知，我们只需要研究EF扫过的面积，如下图：
这是一个圆环，用大圆减掉小圆，大圆半径AF=6√2，小圆半径AE=6，得圆环面积为36π，根据位似图形面积的比等于位似比的平方，可求得线段QN扫过的小圆环面积为9π，如下图：
解题反思：
本题三个小题，实际上是环环相扣的，第1小题的相似三角形，也是最容易想到的，第2小题的相似或全等，最终都落实到了中位线的使用，难点是角度的转换，多数学生在思考过程中遇到的困难，就是找不到全等或相似的关键条件——角相等。第3小题其实并不需要辅助线了，认准位似变换，线段QN和线段EF是位似关系，且位似中心为B点，这是一个定点，同时位似比固定，所以在整个旋转过程中，扫过的图形也是位似图形，即两个大小圆环，显然较容易求大圆环面积，利用位似图形面积的关系即可求解，在题目要求直接写结果的前提下，这种方法可谓秒杀了。
在学生解答此类问题的时候，脑子里很容易想到的解题模型有很多，例如手拉手模型等，套用模型的确可以在某种程度上让学生的思路来得更快，解答“高效”，但是如果未能真正领悟模型本质，只是用已有辅助线去匹配，我个人认为反而不利于学生的学习。曾经见过一些学生，题目图扫一眼，连题目条件都没看，就说要连什么线，当然有时候碰巧是正确的，但这种习惯一旦养成，遇到综合题时，思考也不会深入，将脑中的几种辅助线连上，尝试，若不成功，大概率放弃这道题，这种意志品质很难成就优秀的学业。
模型，不能成为口诀，更不能成为套路，在教学过程中，需要引导学生自己生成这些模型，用学生的方式去解读这些模型，我们提倡的解题方式，是对题目条件的深度理解，发散思维，读完一个条件，发散若干条结论，读第二个条件，继续在前面基础上发散，但我们会发现，有些结论离目标会越来越远，会被淘汰，经过几轮这种淘汰之后，剩下的有限条思路，就是可能的解题方法。由于每个学生发散的点不一样，这造就了多样的解法，无论哪一种解法，都可能会成为学生的模型，我们需要的，正是它们。
爱数学做数学
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