康德在他的整个职业生涯中都是数学的学生和教师，他对数学和数学实践的反思对他的哲学思想产生了深远的影响（Martin 1985；Moretto 2015）他对数学判断的地位、数学概念、定义、公理和证明的性质以及纯数学与自然世界之间的关系提出了深思熟虑的哲学观点此外，他对“先验的综合判断如何 可能？”这一一般问题的处理方法他的数学概念及其作为一门基础科学的成就塑造了他，我来为大家科普一下关于康德哲学基本内容?下面希望有你要的答案，我们一起来看看吧!

康德哲学基本内容（康德的数学哲学）

康德哲学基本内容

康德在他的整个职业生涯中都是数学的学生和教师，他对数学和数学实践的反思对他的哲学思想产生了深远的影响（Martin 1985；Moretto 2015）。他对数学判断的地位、数学概念、定义、公理和证明的性质以及纯数学与自然世界之间的关系提出了深思熟虑的哲学观点。此外，他对“先验的综合判断如何 可能？”这一一般问题的处理方法。他的数学概念及其作为一门基础科学的成就塑造了他。

出于多种原因，许多学者对康德的数学哲学感兴趣。首先，他的数学思想是他的批判哲学体系的关键和核心组成部分，因此它们对研究康德语料库任何方面的哲学史家都有启发。此外，当代兴趣和相关性的问题来自康德对最基本和最基本的数学学科的反思，这些问题继续为数学形而上学和认识论中的重要问题提供信息。最后，关于如何解释康德数学哲学的分歧产生了当前研究和辩论的肥沃领域。

1. 康德的前批判数学哲学

1763 年，康德参加了一个论文奖竞赛，讨论的问题是形而上学和道德的第一原理是否可以被证明，从而达到与数学真理相同程度的确定性。尽管他的论文获得了柏林皇家科学院的二等奖（输给了摩西·门德尔松的“形而上学的证据”），但它仍然被称为康德的“论文奖”。该奖项论文于 1764 年由学院出版，题为“关于自然神学和道德原则的区别的探究”，是康德前批判数学哲学的关键文本。

在获奖论文中，康德承诺比较数学和形而上学的方法（Carson 1999；Sutherland 2010）。他声称“数学的任务……是组合和比较给定的量级概念，这些概念是清晰和确定的，目的是确定可以从中推断出什么”（2:278）。他进一步声称，这项业务是通过对数字或“可见标志”的检查来完成的，这些数字或“可见标志”提供了综合定义的普遍概念的具体表示（Dunlop 2014、2020）。例如，人们通过其他概念的任意组合来定义数学概念<梯形>（“四条直线包围一个平面，使对边不相互平行” [ 1 ])，伴随着一个“可感符号”，显示所有对象的部分之间的关​系如此定义。定义以及基本的数学命题（即空间只能有三个维度，例如）必须被“审查 在concreto从而可以直观地认识它们”，但这些命题永远无法被证明，因为它们不是从其他命题中推断出来的（2:281）。当简单的认知“通过综合”（2:282）结合时，定理就成立了，例如，当证明由在圆内相交的两个和弦形成的线段的乘积相等时。在后一种情况下，证明一个关于任何和所有在圆内相交的线对的定理不是通过“画出所有可能在[圆]内相交的线”而是通过只画两条线，并确定他们之间的关系 (2:278)。结果的“普遍规则”是通过显示的可感符号之间的综合推断出来的，因此，

康德得出结论，数学方法不能用于获得哲学（尤其是形而上学）的结果，主要原因是“几何学家通过综合获得他们的概念，而哲学家只能通过分析获得他们的概念”。——这完全改变了思维方式”（2:289）。然而，在这个前临界阶段，他还得出结论，即使缺乏对其主要概念的综合定义，“形而上学也能像数学一样具有产生信念所必需的确定性”（2:296）。（后来，在关键时期，康德将综合的概念扩展到不仅描述数学概念的起源和组合，而且描述统一流形表示的行为。当然，他也会使用“综合”和“分析”来区分主语和谓语概念在任何类型的不同判断中相互关联的两种相互排斥的方式，他将强调这种区分的扩展意义，包括两种论证模式之间的方法论对比，一种是综合的或渐进的，另一种是分析的或回归的。分析/综合区分的这些不同意义将在下面简要讨论。）

康德分别在 1768 年和 1770 年的论文《关于空间方向区分的终极基础》和《论可感世界和可理解世界的形式和原理[就职论文]》中，开始了康德的数学思想及其结果随着他开始认识到独特的感性能力将在数学认知解释中发挥的作用，他朝着批判哲学的方向发展（Carson 2004；Carson 2017；Posy 2020）。在这些文章中，他将数学推理的成功归因于它对“敏感形式原理”和“直觉的主要数据”的访问，这导致了“直觉认知定律”和关于量级和外延的“直觉判断”。不一致的对应物”（2:382）（Buroker 1981；Van Cleve 和 Frederick 1991；Van Cleve 1999）。康德在“空间方向”中援引这种“不一致的对应物”来建立牛顿式绝对空间的定向性和现实性，即他当时理解的几何对象。他引用了《就职论文》中的同一个例子，确立了空间关系“只能通过某种纯粹的直觉来理解”，从而表明“几何学所采用的原理不仅是不容置疑和推论的，而且也属于凝视范围。的头脑。” 因此，数学证据是“其他科学中所有证据的范式和手段”（2:403）。（后来在关键时期的Prolegomena，他将援引不一致的对应物来建立空间的先验理想，从而否定他先前支持绝对空间的论点。）

2. 康德的批判数学哲学2.1 康德《教条使用中的纯粹理性学科》中的数学概念建构理论

康德的批判数学哲学认为充分表达了的部分纯粹理性批判 题为“纯粹理性的纪律，教条式的使用”，这开始的两个主要部门的第二 批判，“方法的先验主义。” 在《批判》的前几节中，康德将纯粹理性“按照纯粹概念的先验使用”置于批判之下，以“限制其扩展到可能经验的狭窄边界之外的倾向”（A711/B739）。但是康德告诉我们，没有必要对数学进行这样的批判，因为数学中纯粹理性的使用通过直觉保持在“可见的轨道”上：“[数学] 概念必须立即被展示出来。在纯粹的直觉中具体地，通过它，任何毫无根据和武断的事情都会立即变得显而易见”（A711/B739）。尽管如此，数学的实践和学科确实需要一个解释，以便说明它成功地证明了实质性和必要的真理，并允许将其调用作为推理模型。因此，康德像他在前批判时期所做的那样，引导自己去思考什么解释了“快乐且有根据的”数学方法，以及它是否在数学以外的任何学科中都有用。为了否定地回答后一个问题，康德必须解释数学推理的独特性。

康德关于数学推理独特性的论述的中心论点是他声称数学认知源自其概念的“构造”：“ 构造一个概念意味着先验地展示与其对应的直觉”（A713/B741）（弗里德曼，1992 年，2010 年；沙贝尔，2006 年）。例如，虽然概念 <triangle> 可以散布地定义为由三个直线包含的直线图形（如欧几里得的元素中所做的那样 ），但该概念被构造为，在康德术语的技术意义上，只有当表现出相应的直觉时；在这种情况下，相应的直觉是一个三边形的单一且立即明显的表示。康德认为，当人们为了执行几何证明所需的辅助构造步骤而如此渲染三角形时，人们先验地这样做，三角形是在纸上产生的还是只是在想象中产生的。这是因为在这两种情况下，所显示的对象都没有从任何经验中借用其模式 (A713/B741)。此外，人们可以从单个三角形的这种单一展示中推导出所有三角形的普遍真理，因为展示对象的特定确定，例如其边和角的大小，与作为展览的渲染三角形“完全无关”一般概念 <三角形> (A714/B742)。因此，必须为康德的说明辩护，反对普遍真理不能源自依赖于特定表示的推理（Friedman 2012, 2020）。相关地，经验渲染的三角形的不太直的边与一般概念 <triangle> 类似地“无关紧要”，因此这种经验直觉被认为足以进行几何证明。这就提出了一个问题，即如何确保直觉充分显示概念的内容（Dunlop 2012）；纯粹直觉和经验直觉之间的关系（Friedman 2012；Shabel 2003）；尤其是，哪些直观显示的特征可以安全地忽略（Friedman 2010, 2012）。康德建构论的这些特征也引发了对数学概念获得条件的讨论（Callanan 2014）；构造在间接还原中的作用证明（Goodwin 2018）；构造和定义之间的关系（Heis 2014, 2020; Nunez 2014）；以及想象力在建设中的作用（Land 2014）。

最终，康德声称“只有数量的概念”（数量）可以在纯直觉中构建，因为“质量只能在经验直觉中表现出来”（A714/B742）（Sutherland 2004a，2004b，2005a， 2021）。这导致了数学认知和哲学认知之间的原则性区别：虽然哲学认知仅限于抽象概念分析的结果，但数学认知是“总是由直觉引导的推理链”的结果，即通过一个其对象的具体表示（Hintikka 1967；Parsons 1969；Friedman 1992；Hogan 2020）。康德有些费力地解释数学家如何构造算术和代数量，这与作为几何推理对象的空间图形不同。

康德进一步声称，纯粹的量值概念适用于构造，因为与其他纯粹概念不同，它不代表可能的综合直觉，但“本身已经包含了纯粹的直觉”。但是，由于这种“纯直觉”的唯一候选对象是空间和时间（“现象的纯粹形式”），因此只有空间和时间量级才能在纯直觉中表现出来，即构造。这种空间和时间的大小可以通过显示事物的形状（例如窗户窗格的矩形）来定性地展示，也可以仅通过显示事物的部分数量（例如窗格的数量）来定量展示窗口包含的。在任何一种情况下，所展示的都被视为一种纯粹的“形式直觉”，对其进行检查会产生“超出”与直觉相关的原始概念内容的判断。这种判断在范式上是综合的先验判断（将在下面更详细地讨论），因为它们是独立于经验的放大真理（Shabel 2006）。

康德认为，数学推理不能在数学领域之外使用，正如他所理解的那样，这种推理必然针对“在纯粹的先验直觉中确定地给出并且没有任何经验数据”（A724/B752）。由于只有形式的数学对象（即空间和时间的大小）可以这样给出，数学推理对于物质给定的内容是无用的 （尽管对形式数学对象的数学推理所产生的真理有效地应用于这些物质内容，这是说数学是适用的和先验的表象也是如此（Shabel 2005）。因此，数学在其定义、公理和论证中找到的“彻底基础”不能被哲学或物理科学“实现或模仿”（A727/B755）。

虽然康德的数学概念构建理论可以被认为是对康德所理解的数学实践的解释[ 2 ]，但该理论与康德对直觉和概念之间严格区分的更广泛承诺交织在一起，作为表示模式（Smyth 2014） ; 综合判断和分析判断之间（Anderson 2004, 2015; Hogan 2020）；不同认知能力之间的作用（Land 2014；Laywine 2014）；在先验和后验之间证据和推理（Anderson 2015）。最终，在“教条使用中的纯粹理性学科”中发展的数学图景取决于批判哲学旨在提供的完整判断理论，关键取决于康德在《先验美学》（Parsons 1992）中提供的感性理论; Carson 1997; Risjord 1991)，以及Prolegomena的主要先验问题第一部分中的相应段落 ，在那里他研究了数学的纯粹感性概念的“起源”，以及“它们的有效性范围”（ A725/B753）。[ 3 ]

2.2 康德对他的问题“纯数学如何可能？”的回答

康德提出了关于他的批判哲学的两个相关的主要问题：（1）先验的综合判断如何可能？以及，（2）形而上学作为一门科学如何可能（B19；B23）？数学提供了一个特殊的途径来帮助回答这些问题，它提供了一个编纂科学学科的模型，该模型的可能性是明确的，而且由其自身的综合和先验认知成就保证（Anderson 2015）。换句话说，解释如何先验合成判断在数学上下文中得到肯定，再加上对可证明的知识的系统体如何包含这些判断的结果和相关解释，使数学真理可以作为形而上学希望实现的实质性但必要和普遍真理的范式被调用。康德的数学概念构建理论（上面讨论过）只有结合他对数学和形而上学知识的本质和可能性的更广泛问题的处理才能得到充分理解（Jauernig 2013）。

在《任何未来形而上学的序言》和《纯粹理性批判的 B-导论》中，康德都引入了分析/综合的区别，它区分了谓词属于或包含在主题概念中的判断和判断其中谓语分别与主语概念相关但又超出主语概念。在每篇文章中，他在介绍这种区别之后，都讨论了他的主张，即所有数学判断都是综合的和先验的。[ 4 ] 在那里他首先声称“正确的数学判断总是先验的判断”，理由是它们是必要的，因此不能从经验中得出（B14）。他接着解释了这种非经验判断如何能够是综合的，也就是说，它们如何能够用于综合主语和谓语概念，而不仅仅是将主语概念解释或分析成其组成的逻辑部分。

康德在这里著名地引用了算术命题“7 5 = 12”，并认为这样的判断是综合的。他反驳说，“无论我分析我的[7 和 5] 之和的概念多久，我仍然找不到其中的 12”，也积极地声称“人们必须超越这些概念 [七和五]，在与两个之一相对应的直觉中寻求帮助，一个人的五个手指，说......一个接一个地将直觉中给出的五个单位添加到七的概念中......从而看到数字12 起来”（B15）。他认为，诸如“7 5 = 12”之类的算术命题的必要真理​​无法通过任何逻辑或概念分析方法来确定（Anderson 2004, 2015），但 可以通过直觉综合建立（Parsons 1969）。最近，关于康德算术理论的讨论已经从关于算术判断的综合性和先验性问题转移到对康德数论的研究。这里出现的主题包括序数和基数（Sutherland 2017, 2020）；实数（Tait 2020；van Atten 2012）；有限主义（Tait 2016；Sieg 2016）；无穷大和无穷小（Brittan 2020；Smyth 2014、2021；Warren 2020）；以及数概念在康德的经验可能性概念中的中心地位（Carson 2020）。

康德在他对算术推理和真理的讨论之后，对欧几里得几何提出了相应的主张，据此几何原理表达了概念之间的综合关系（例如两点之间的直线概念和两点之间的最短线概念之间的关系）。相同的两点），其中任何一个都不能从另一个分析“提取”。因此，几何原理表达了基本几何概念之间的关系，因为这些可以“在直觉中表现出来”（Shabel 2003；Sutherland 2005a）。在其他地方，康德还包括几何定理作为综合命题（除了几何原理）的种类，并提供关于几何证明的想法（A716-7/B744-5）（Friedman 1992, 2010; Shabel 2004）。理解几何定理的综合性的一种方法是认识到直觉在几何证明中不可或缺的图解作用 (Shabel 2004, 2004)。

值得注意的是，康德关于几何定理是综合性的主张的范围并不透明。他否认 原理（Grundsätze）可以从矛盾原理分析性地认识，他承认建立几何定理所需的那种数学推理 确实是“按照矛盾原理”进行的，而且“一个综合命题当然可以按照矛盾原理来理解”，尽管“只有在另一个综合命题是可以从中推出它的前提下，从来没有本身”（B14）。因此，虽然他很清楚所有数学判断，包括几何定理，都是综合的，但他不太清楚这些命题或支持它们“符合”矛盾原则的推论究竟意味着什么，他从中推导出需要是分析性的范式测试（霍根 2020）。这导致了关于可证明的数学判断是否通过严格的逻辑或概念推理遵循综合原则的解释性分歧——因此严格遵守仅矛盾原理——或者它们是否是通过本身依赖于直觉但不违反矛盾律的推理推导出来的。因此，对于康德是仅仅致力于数学公理的综合性（通过逻辑推理将综合性传递给可证明的定理），还是也致力于数学推理本身的综合性，存在分歧。前者的解释立场最初与 Ernst Cassirer 和 Lewis White Beck 相关；Bertrand Russell 的后一个位置（Hogan 2020）。戈登布里坦 (Brittan 2006) 认为这两种立场都是“证据主义者”，这是他对任何解释的标签，根据直觉为数学真理提供不可或缺的证据，

关注康德数学哲学中的这个解释性问题对于它阐明更普遍的问题——什么使先天综合认知成为可能——即康德纯粹理性批判的核心问题——至关重要。关于这个更普遍的问题，重要的是区分康德对“分析”和“综合”这两个术语的使用，以标记判断类型之间的逻辑语义区别——康德用它来捍卫数学认知是综合的这一独特论点。先验——来自他使用相同的术语来标记分析方法和综合方法之间的传统数学区别 . 他采用后一个区别是为了确定两种不同的论证策略来回答“纯数学的可能性”问题。分析方法的特点是推理，将给定的认知体系（如数学）追溯到它的起源或在头脑中的来源。相比之下，综合方法旨在直接从这些原始认知来源中推导出真实的认知，这些来源或权力首先独立于权力最终可能产生的任何特定的认知体系（包括数学）而被阐明。康德在他的《导论》中采用了前一种方法，从综合的和先验的论证数学判断的本质，即空间和时间是人类感性的形式；他在《纯粹理性批判》中采用了后一种方法，认为人类感性、空间和时间的形式提供了从中得出综合和先验 数学判断的基础（Shabel 2004）。这些论证，连同他 对所有数学判断的综合和先验性质的详细说明，为数学的可能性问题提供了答案：产生范式综合和先验的实践的实践数学科学的判断基于人类敏感性的本质并由其解释，特别是由所有（且仅）人类经验对象的时空形式（Van Cleve 1999）。但是，这个答案引发了进一步的问题，特别是关于如何区分空间的形而上学和几何表示（Carson 1997；Friedman 2000、2015、2020；Onof 和 Schulting 2014；Tolley 2016）。

2.3 康德关于数学在先验唯心主义中的作用的概念

康德的数学实践理论不仅与他的直觉和感性理论（如上所述）有关，而且与先验唯心主义学说的其他方面有关，正如康德的批评著作中所阐述的那样。

在先验分析中，康德推导出了十二个范畴或纯粹理解概念的表格，他将其中的前六个范畴描述为“数学”（相对于“动力学”）范畴，因为它们关注直觉对象（B110 ）。数的概念被视为“属于”“所有”或整体的范畴，它本身被认为是统一和多元概念结合的结果（Parsons 1984；有关与康德帐户相关的其他主题，请参见上面的 2.2数）。但是，康德进一步声称，在无限的表示中出现的困难——在这种情况下，一个人据称表示统一和多元，而没有结果的数字表示——揭示数的概念必须需要“理解的特殊行为”的中介（B111）。（这一特殊行为大概是康德所描述的作为想象和理解功能的综合，这是完整的判断理论的任务——包括先验演绎和图式——来解释（Carson 2017；Longuenesse 1998） .) 因此，尽管他还声称算术“通过连续添加时间单位形成其数字概念”（4:283），但推断算术之于时间就像几何学之于空间是误导性的，因为形式直觉时间不足以解释一般和抽象的数字科学。[ 5 ] 事实上，康德宣称力学是一门数学科学，即几何之于空间（Sutherland 2014）。

在图式论中，康德承诺确定一种特殊的机制，这种机制使理解的纯粹概念能够包含感性直观，而感性直观与感性直观是异质的。范畴必须被“图解”，因为它们在纯粹理解中的非经验起源阻止了它们具有将它们直接与经验对象联系起来的那种可感内容；先验图式是中介表征，旨在以规则支配的方式建立纯粹概念和现象之间的联系。在此背景下讨论数学概念，因为它们既是纯粹的又是可感概念的独特之处：它们是纯粹的，因为它们严格地是先天的起源，但它们是可感的，因为它们是具体构造的. （康德通过将数识别为量级范畴的纯模式使这个问题进一步复杂化（Longuenesse 1998）。）出现了一个解释性问题，即其概念内容被合理地给出的数学概念是否需要通过可区分的“第三件事”进行模式化”，如果是这样，那么它到底是什么（Leavitt 1991；Young 1984）。更广泛地说，问题是先验想象力（负责图式的能力）如何在数学环境中运作（Domski 2010）。

最后，在《原理分析》中，康德推导出了“先天地从纯粹的理解概念中流出”的综合判断，这些判断是所有其他先天的基础。 认知，包括数学（A136/B175）。与数量范畴（即统一性、多元性和总体性）相关的纯粹理解的原则是直觉公理。鉴于适当的数学原理“仅从直觉中得出”，因此不构成纯粹理解原理系统的任何部分，对此类数学原理（上文概述）的可能性的解释必须由最高可能的解释来补充先验原则（A148-9/B188-9）（Shabel 2017）。因此，直觉的公理提供的元原理，或原理的 量的数学原理，即“所有直觉都是广延量”（A161/B202）。大多数评论家在这里解释康德是为了说明为什么数学原理与纯粹的空间和时间有关，适用于现象：现象只能“通过与一般空间和时间相同的综合来表示。确定”（A161/B202）。因此，所有 直觉，无论是纯粹的还是经验的，都是受数学原理支配的“广泛量级”。（有关公理的另一种观点，请参见 Sutherland 2005b）。

同样值得注意的是，《判断力批判》中的关键段落涉及数学和“数学崇高”（Fugate 2014; Breitenbach 2015）。特别参见 [5:248ff]。

三、康德数学哲学评注3.1 领域的历史

康德的数学概念受到同时代人的争论。影响和激怒了弗雷格、罗素和胡塞尔；并为布劳威尔直觉主义提供了灵感。Gottfried Martin 1938 年的专着Arithmetik und Kombinatoric bei Kant (Martin 1985)使他的数学概念重新焕发活力，值得仔细研究历史。尽管当代评论家在如何最好地理解康德的思想方面形成了截然不同的立场，但他们在反对一个长期标准的故事上大体一致（也许最初由伯特兰罗素在他的数学原理和鲁道夫卡尔纳普在他的 哲学基础中提出）物理学) 19世纪和 20世纪现代逻辑的发展个 世纪以来，非欧几里德几何的发现和数学的形式化使康德的数学和过时的或不相关的相关的哲学承诺的基于直觉的理论。当代评论家试图从康德自己的历史背景的角度重建康德的数学哲学，并确定康德数学哲学中具有永恒哲学意义的元素（Parsons 2014）。

Jaakko Hintikka 和 Charles Parsons 之间关于康德直觉在数学中的作用的观点的持久辩论对康德数学哲学（本文的重点）的分析传统中的英语语言学术影响最大，导致了后来的结果被称为“逻辑”和“现象学”解释；由迈克尔·弗里德曼 (Michael Friedman) 的开创性著作《康德与精确科学》 ( Kant and the Exact Sciences) (弗里德曼 1992) 以及他现在的经典文章“康德的几何理论”和“康德及其后继者的几何、构造和直觉”(弗里德曼 1985、2000) 撰写；并通过卡尔·波西的音量收集的论文 康德“的数学哲学：现代散文 （其中包括 Hintikka、Parsons 和 Friedman 的贡献，以及 Stephen Barker、Gordon Brittan、William Harper、Philip Kitcher、Arthur Melnick、Carl Posy、Manley Thompson 和 J.Michael Young 的贡献，所有这些都发表了二十多篇五年前（Posy 1992）。）

3.2 解释性辩论

关于如何理解康德关于直觉在数学推理中作用的观点的解释性辩论对康德数学哲学的学术形式产生了最强烈的影响；这场辩论与数学公理、定理和推论的综合性问题（如上所述）直接相关。在他对心理表征的一般性讨论中，康德暗示直接性和单一性都是非概念性的、直觉的表征的标准，这种表征是综合判断的基础。在一系列论文中，查尔斯·帕森斯 (Parsons 1964, 1969, 1984) 认为数学判断的综合性取决于数学直觉从根本上是直接的，他以感性的方式解释了这种表示的直接性，作为直接的，现象学的在场。Jaakko Hintikka (Hintikka 1965, 1967, 1969) 从 EW Beth 的早期工作中发展出一个想法，反驳说数学判断的综合性仅取决于其直觉成分的奇异性。Hintikka 将数学直觉同化为单数术语或细节，并通过类比存在性实例化的逻辑规则的应用来解释直觉在数学上下文中的使用。这两种立场分别被称为“现象学”和“逻辑”解释。Hintikka 将数学直觉同化为单数术语或细节，并通过类比存在实例化的逻辑规则的应用来解释直觉在数学上下文中的使用。这两种立场分别被称为“现象学”和“逻辑”解释。Hintikka 将数学直觉同化为单数术语或细节，并通过类比存在实例化的逻辑规则的应用来解释直觉在数学上下文中的使用。这两种立场分别被称为“现象学”和“逻辑”解释。

Michael Friedman 关于直觉在数学推理中的作用的最初立场 (Friedman 1985, 1992) 源自 Beth 和 Hintikka 的观点，尽管它与他们的观点大不相同，并且在他最近的著作中有所修改。在他的康德和精确科学中（弗里德曼 1992 年），弗里德曼认为我们的现代逻辑概念应该被用作解释（而不是批评）康德的工具，并指出可以由多元逻辑生成的无限数学对象的显式表示现代量化理论的概念对于康德时代的数学家和逻辑学家来说是不可用的。由于一元逻辑不足以表示无限的对象，这位 18 世纪的数学家依靠直觉来提供数学推理所需的表示。弗里德曼在这种历史洞察力的基础上，详细阐释了康德的数学哲学。

弗里德曼为了回应艾米丽·卡森 (Carson 1997) 的批评而修改了他的原始立场，他对康德的几何理论进行了解释，这是帕森斯式的，其反形式主义强调认识论和现象学，而不是直觉在数学中的逻辑作用. 在最近的工作（弗里德曼 2000 年，2010 年）中，弗里德曼认为，建立几何学基础的直觉从根本上说是运动学的，最好通过描述欧几里得几何学的构造作用和普通人的感知观点的平移和旋转来解释。 ，面向空间的观察者。这个说明提供了逻辑和现象学解释说明之间的综合，很大程度上是通过将想象力通过欧几里得结构探索的几何空间与透视空间连接起来，根据康德的说法，透视空间是所有外部感性的形式。更具体地说，弗里德曼通过“[嵌入]对空间内几何结构（如斯科勒姆函数）的纯逻辑理解作为我们外部感性直觉的纯粹形式（如超验美学中所描述的）”（弗里德曼2012 年，第 17 期）。此外，弗里德曼反对康德直觉的图解解释（弗里德曼 2012 年），并整理了 B 演绎中的证据来支持他对几何构造、感知空间和物理空间之间联系的理解（弗里德曼 2020 年），

3.3.该领域的现状

新一代学者对源自上文 3.1 和 3.2 中提到的文献的康德数学哲学的解释和遗产进行了生动、丰富和持续的讨论。然而，最近的工作并不容易归类为落在一个或另一个解释性辩论的任何一方。大多数学者正在使用该领域的基础讨论作为跳板，从中探索数学在批判哲学中发挥作用的各种方式。在2020年，卡尔·波西和Ofra Rechter出版了两卷本的继任者波西1992年收集的先容，名为 康德“的数学哲学，第I卷：在批判哲学及其根源. 第一卷包括十二篇论文，主题范围从康德数学哲学的前批判起源到他对数学方法、逻辑、几何和算术的批判性思想。即将出版的第二卷中的文章将集中讨论康德数学哲学的接受和影响。同样值得注意的是，一系列文章首次发表在加拿大哲学杂志特刊上，康德：批判哲学中的数学研究，由艾米丽·卡森和丽莎·沙贝尔编辑（卡森和沙贝尔，2014 年）。这里收集的九个贡献旨在探索数学在康德整个哲学体系中的中心地位。丹尼尔·萨瑟兰 (Daniel Sutherland) 最近写了一本对康德数学哲学的书长论述， 康德“数学奥林匹克世界：数学，认知和体验（萨瑟兰2021）中，他专注于大小为重点，以康德的帐户，我们的认知和对世界的体验的康德的理论。第二卷即将出版。

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