小数老师说:

今天带来一道椭圆的应用题

(全国I卷模拟 ·文数· 20)

20.(12分)已知抛物线C:y2=4x,直线x=ny 4与抛物线C交于A,B两点.

(Ⅰ)求证:

每个人必看的高考题(每日一道高考题)(1)

每个人必看的高考题(每日一道高考题)(2)

=0(其中O为坐标原点);

(Ⅱ)设F为抛物线C的焦点,直线l1为抛物线C的准线,直线l2是抛物线C的通径所在的直线,过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)作直线l:y0y=2(x x0)与直线l2相交于点M,与直线l1相交于点N,证明:点P在抛物线C上移动时,

每个人必看的高考题(每日一道高考题)(3)

恒为定值,并求出此定值.

先自己思考

本题考点

直线与抛物线的位置关系

题目分析

(Ⅰ)直线x=ny 4与抛物线C联立可得y2﹣4ny﹣16=0,利用韦达定理及向量的数量积公式即可证明结论;

每个人必看的高考题(每日一道高考题)(4)

=x1x2 y1y2=

每个人必看的高考题(每日一道高考题)(5)

y1y2=0;

(Ⅱ)证明:将点M,N的横坐标分别代入直线l:y0y=2(x x0),

得M(1,

每个人必看的高考题(每日一道高考题)(6)

),N(﹣1,

每个人必看的高考题(每日一道高考题)(7)

),

∵F(1,0),∴|MF|=|

每个人必看的高考题(每日一道高考题)(8)

|,|NF|=

每个人必看的高考题(每日一道高考题)(9)

=

每个人必看的高考题(每日一道高考题)(10)

每个人必看的高考题(每日一道高考题)(11)

=|

每个人必看的高考题(每日一道高考题)(12)

÷

每个人必看的高考题(每日一道高考题)(13)

=

每个人必看的高考题(每日一道高考题)(14)

=1,

∴点P在抛物线C上移动时,

每个人必看的高考题(每日一道高考题)(15)

恒为定值1.

本题点评

本题考查直线与抛物线的综合运用,考查韦达定理,向量知识的运用,属于中档题.

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