2022年高考数学全国卷I的压轴题，实际上是指对同构思想的运用。
已知f(x)=e^x-ax与g(x)=ax-lnx有相同最小值.
(1)求a; (2)证明：存在直线y=b, 其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，且从左到右的三个交点横坐标成等差数列.
分析：(1)求a的方法，是分析方程的根的唯一性。
(2)这是同构思想的运用，方法选对了，实在是太简单了。
(1)解：由f’(x)=e^x-a=0得, x=lna; 由g’(x)=a-1/x=0得, x=1/a.
当a-alna=1 lna时，a-1=(a 1)lna, lna=(a-1)/(a 1)=1-2/(a 1),
记h(a)=1-2/(a 1)-lna，则h'(a)=2/(a 1)^2-1/a=-(a^2 1)/(a(a 1)^2)，
当a>0时，h'<0，当a<0时，h'>0，
又a>0，所以h(a)有唯一的零点，即a-alna=1 lna有唯一的解a=1.
(2)证明：依题意, 有x=x0, x=x1, x=x2, 使得：
e^x1-x1=e^x0-x0=x0-lnx0=x2-lnx2=b (x1<0<x0<1<x2)，【借助函数的图像可以看到，x1是y=b与f(x)的左交点，在第一象限，所以x1<0；x0是f(x)和g(x)的交点，也是y=b与两条曲线的公共点，它在第一象限，g(x)的最小值点的左侧，而g(x)的最小值点是x=1，所以0<x0<1，x2是g(x)与y=b的右交点，在x=1的右侧，所以x2>1】
从而有2x0=e^x0 lnx0，【由e^x0-x0=x0-lnx0推导出来的】（1）
由e^x1-x1=x0-lnx0=e^(lnx0)-lnx0=b，可知，x1=lnx0≠x0, 【因为(x1,e^x1-x1)和(lnx0,e^(lnx0)-lnx0)结构相同，都是f(x)=e^x-x上的点，且函数值都等于b，所以lnx0=x1或lnx0=x0，检验的结果发现，lnx0<0，而x0>0，所以lnx0只能等于x1】（2）
由x2-lnx2=e^x0-x0=e^x0-ln(e^x0)=b，可知，x2=e^x0≠x0,【因为(x2,x2-lnx2)和(e^x0,e^x0-ln(e^x0))结构相同，都是g(x)=x-lnx上的点，且函数值都等于b，所以e^x0=x2或e^x0=x0，检验的结果发现，e^x0>1，而x0<1，所以e^x0只能等于x2】（3）
∴x1 x2=2x0, 即x1, x0, x2成等差数列.【联立(1)(2)(3)式的结果】
现在您看明白了吗？注意，真正的解题过程，其实是很简洁的，只是老黄添加了很多注释！
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