本文为“2022年第四届数学文化征文活动
数学的魅力——自由想象
作者 : 周光平
作品编号：098
说到数学魅力，就自然想起罗声雄著的《数学的魅力》一书！彭翕成老师说，如果高中时就读到这本书，那一定会很早就对数学产生兴趣！会很早就爱上数学！的确如此，在看了此书的第一部分“几何学中的经典音乐”时，就让马上体验到了是数学的魅力——自由想象！
在小学时就有过这种魅力的体验——从面积到体积的想象。
人教版六年级上册在“圆”这一单元里有这样的练习：周长相等的长方形、正方形和圆，谁的面积最大？从长方形到正方形，从正方形到正多边形，从正多边形到圆，这个特殊化的进阶过程，不正是验证了方形到圆形的变化过程中，周长不变面积增加到最大的过程！这种想象自然就会顿悟到生活中的树干是圆的、水管是圆的…似乎就在诠释着自然选择的魅力和人类想象的智慧。通过大胆猜测小心验证不仅会发现圆的面积最大，还可以顺其继续想象！如果方形拓展到方体，那圆就拓展为球，这样在表面积相等即材料一定的情况下，体积或容积最大的容器是不是应该是球状！就答案还未经小心求证，这种大胆猜测得到结论的魅力就已经让人兴奋不已！如果说从二维的面想到三维的体的想象这么有趣，那我们从三维的体到二维的面展开想象也会很有意思的！例如，五年级的长方体和正方体单元的拓展材料中探索到凸多面体的点线面有欧拉公式：顶点数 面数-棱数=2（定值），例如，长方体顶点数8 面数6-棱数12=2。如果我们继续想象，将点线面置于二维的平面上来研究，他们之间是否还具备这样的规律呢？做一个展开图的想象，把简单的多面体去掉一个面形成网状在摊平，就是平面上一般的封闭图形，所有不交的区域都是多边形，那确实存在类似这样的关系：顶点数 区域数-边数=1。如果再进一步从益智操作游戏来展开想象也会有很巧的发现：把七巧板的每个板块看成一个多边形区域，进行拼合游戏，要求拼板与拼板无任何重叠，即面与面不重合（无交并），对应“可加性”。因为七巧板满足保积变形，只允许边与边交并，或者顶点与顶点交并。那七巧板的操作就从连通到分割，从拼合到连通，欧拉示性数不变。这不正好是用欧拉-笛卡尔公式来计算欧拉示性数，正好揭示了图形的拓扑不变量！ 数学的魅力就体现在这样不尽的自由想象中！她不仅给我们带了乐趣！也带来了进一步展开想象的冲动，到了中学这种自由想象的魅力更是个无穷的空间！
大家熟悉的毕氏定理就是一个充满无限想象的定理，无限魅力的定理。有了它，让我们回忆起了两点间线段最短、无理数；想到了点到线距离、点到点的距离表达式是。有了它，从维度上去想象，在三维空间中，用毕达哥拉斯定理的距离表达式是；在四维的欧几里得空间中，用毕达哥拉斯定理的距离表达式。
事实上，毕达哥拉斯定理不仅应用范围广，还体现在我们对它自由地想象延展。它不仅适用于建筑学物理学天文学等，事实上它几乎在所有领域和运用上都是适用的。我们熟悉的作为研究几何的三角形，其边角度量及其关系，就是从定理出发展开想象，遇见了经典的正余弦定理、三角函数性质等等，如果有兴趣，我们还可以从更多操作的动态变化过程中去想象就会得到一次次的惊喜。例如，从熟悉的这个三角形（图1）开始展开想象，会发现一个个不易证明的不等式：
大家知道如果a>0，b>0 ， c>0，则无理不等式显然成立。而它的几何模型如图（1）：在ΔABC中，CD为AB上的高，且AD=a,BD=b,则,AB=a b,因为AC BC>AB,所以。
如果把图1中的RTΔBCD沿CD翻折，使它成直二面角，如图2这样在空间四边形ABCD中仍可得到ΔABC，无疑地，它是命题“、、三数中，任意两数之和大于第三数”的几何模型。
如果把RTΔBCD再继续翻转，使之与RTΔACD叠合，如图（3），仍得ΔABC。其中AB=a－b(设a>b),∵AC-BC<AB(其中a>b)是它所表示的无理不等式。
如果每条边的赋值不同，图1中的ΔABC还是无理不等式：“若a>b、b>c 、c>0，则的几何模式。
为此，我们只须令：AD=,BD=，CD=，
则：AC= , BC=,
因为:
当且仅当∠ACB=时取等号，此时有：
即时取等号。
如果在图1中过C点作AB之平行线并在上面取一点C',使它与A、Ｂ两点等距离：如图（4），根据同底等高的三角形中，以等腰三角形的周长最短。无疑地，图（4）是无理不等式：
数学的魅力源自于想象，想象背后的实质是那火热的思考！思考带给你最重要的价值是什么？是对自由的体验，是独上高楼，望尽天涯路的惊喜，是人生中很难获得的精神财富之一，这或许就是数学的想象带给我们的无限魅力吧！
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