鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。大约在1500年前,《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的,

今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?

这四句话的意思是,

有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头,从下面数,有94只脚。问笼中各有多少只鸡和兔?

这已经是一道很常规的小学数学题!这里可以提供很多种解法。

解1:方程法,一元一次方程

假设有鸡 x 头,则兔有 (35−x) 头,则,

2x 4(35−x)=94

解得, x=23

即鸡23头,兔12头。

解2:方程法,二元一次方程组

假设鸡 x 头,兔 y 头,则,

x y=35 (1)

2x 4y=94 (2)

联立(1)(2),解得,

x=23 , y=12 。

答案同上。

解3:小时候最常用的经典方法,假设法

假设35头全是鸡,则有脚 35×2=70 只,相比于94只脚,少了 94−70=24 只,这是因为35头中还有兔,而我们用一头兔换一头鸡可以多出2只脚,所以要补齐24只脚,需要换 24÷2=12 头兔,因此兔12头,鸡 35−12=23 头。

解4:画图法

如下图,先画35头鸡,如下,

鸡兔同笼的巧妙解法5步走(鸡兔同笼问题的10余种解法)(1)

同样有脚70只,少94−70=24 只脚,选择其中12头补上脚2只,如下,故有兔12头,鸡23头。

鸡兔同笼的巧妙解法5步走(鸡兔同笼问题的10余种解法)(2)

解5:列表法

鸡兔同笼的巧妙解法5步走(鸡兔同笼问题的10余种解法)(3)

找找合计脚数的规律可知,随着鸡头数的增加,合计脚数减少,每增加1头鸡,脚数减少2只,故 (140−94)÷2=23 头鸡,兔12头。

解6:让鸡变兔

我们想办法让鸡也变成兔子,比如让每只鸡再长出2只“新脚”,则有脚 4×35=140只,多出了 140−94=46 只“新脚”,显然多出的新脚来自于鸡,且每只鸡多长出2只“新脚”,故有鸡 46÷2=23 头,兔12头。

解7:让兔变鸡

我们想办法让兔变鸡,比如我们让兔子再长出一个“新头”,并把兔子解剖成2部分,这样兔子也是1头2脚的“鸡”了,故有头 94÷2=47 ,显然多出了 47−35=12 头,这是兔子长出来的“新头”,故有兔12头,鸡23头。

解8:让鸡脚“消失"

比如存在某个杂技师,他吹一下口哨,鸡和兔就会各抬起1只脚,这时还有 94−35=59 只脚“站立”,再吹一下口哨,鸡和兔再各抬起1只脚,还有 59−35=24 只脚“站立”,显然此时鸡已经“一屁股”坐在地上了,兔子还有2只脚“站立”,故有兔 24÷2=12 头,鸡23头。

解9:让脚“消失一半”

我们残忍一点,将鸡和兔的脚各砍去“一半”,即鸡砍掉1只脚,兔砍掉2只脚,则还有脚 94÷2=47 只,此时,鸡有1只脚“站立”,兔有2只脚“站立”,显然此时脚只数比头数多的部分就是兔子的头数,即兔有 47−35=12 头,鸡有23头。

解10:让头和脚配套“消失”

我们把鸡和兔的头都砍掉,同时砍掉1个头配套砍掉2只脚,这是还剩有脚 94−35×2=24 只,显然这些脚都是兔子的,故有兔 24÷2=12 头,鸡23头。

解11:其他公式法

总结一个公式:

鸡头数=|全兔脚−脚数|÷2 ,

兔头数=|全鸡脚−脚数|÷2 ,

啥意思呢?

全兔脚表示全部都是兔时应该有的脚只数,全鸡脚表示全部都是鸡时应该有的脚只数。

故,

鸡头数=|35×4−94|÷2=23 ,

兔头数=|35×2−94|÷2=12 。

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